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1、1,第四章 空间力系,2,静力学,工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；(b)图中去了风力为空间平行力系。,3,第四章 空间力系,41 空间汇交力系 42 空间力偶系 43 力对点的矩与力对轴的矩 44 空间一般力系向一点的简化 45 空间一般力系简化结果的讨论 46 空间一般力系的平衡方程及应用 47 平行力系的中心与物体的重心 习题课,4,静力学,4-1 空间汇交力系,5,静力学,2、一次投影法（直接投影法）由图可知：,3、二次投影法（间接投影法）当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将 F 投
2、影到xy面上，然后再投影到x、y轴上，即,6,静力学,4、力沿坐标轴分解：若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：,而：,所以：,7,静力学,1、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多 边形方法求合力。即：合力等于各分力的矢量和,二、空间汇交力系的合成：,8,静力学,3、合力投影定理：空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。,9,静力学,三、空间汇交力系的平衡：,几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。,空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：,10,静力学,4-2 空间力偶系,力偶的转向为右手螺旋定则。从力偶矢末端看去，逆时针转动为正。空间力偶
3、是一个自由矢量。,11,证 作II/，cd/ab 作一对平衡力R,R(在E点,且 使-R=R)由反向平行力合成得：F1与R合成得F2，作用在d点 F1与R合成得F2，作用在c点 且R-F1=F2，R-F1=F2 在I内的力偶（F1，F1）等效变成II内的（F2，F2）,静力学,二、空间力偶的等效定理 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。,12,静力学,由此可得出，空间力偶矩是自由矢量，它有三个要素：力偶矩的大小=力偶矩的方向与力偶作用面法线方向相同 转向遵循右手螺旋规则。,三、空间力偶系的合成与平衡,由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，
4、可移至任意一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合矢量运算法则。合力偶矩=分力偶矩的矢量和,13,静力学,显然空间力偶系的平衡条件是：,14,静力学,在平面中：力对点的矩是代数量。在空间中：力对点的矩是矢量。例 汽车反镜的球铰链,4-3 力对点的矩与力对轴的矩,一、力对点的矩的矢量表示,如果r 表示A点的矢径，则：,15,静力学,即：力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。,两矢量夹角为,O,16,静力学,定义：它是代数量，方向规定+,二、力对轴的矩,结论：力对/它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。,证,17,静力学,力对/它的轴的矩为零。即力F与轴共面
5、时，力对轴之矩为零。,18,静力学,即：,三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系,证,通过O点作任一轴Z，则：,由几何关系：,所以：,19,静力学,定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。,又由于,所以力对点O的矩为：,20,静力学,把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。,4-4 空间一般力系向一点简化,设作用在刚体上有空间一般力系,向O点简化（O点任选）,21,静力学,根据力线平移定理，将各力平行搬到O点得到一空间汇交力系：和附加力偶系 注意 分别是各力对O点的矩。
6、由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。,22,静力学,合成 得主矢即（主矢 过简化中心O，且与O点的选择无关）合成 得主矩即：（主矩 与简化中心O有关）,23,静力学,若取简化中心O点为坐标原点，则：主矢大小 主矢方向 根据力对点之矩与力对轴之矩的关系:则主矩大小为：主矩方向：,24,静力学,空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。,4-5 空间一般力系简化结果的讨论,1、若,则该力系平衡（下节专门讨论）。,2、若 则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。,3、若 则力系可合成为一个合力，主矢 等于原
7、力系合力矢，合力 通过简化中心O点。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）,25,静力学,4、若 此时分两种情况讨论。即：,26,静力学,若 时，为力螺旋的情形（新概念，又移动又转动）例 拧螺丝 炮弹出膛时炮弹螺线,R不平行也不垂直M0，最一般的成任意角 在此种情况下，首先把MO 分解为M/和M 将M/和M 分别按、处理。,27,静力学,M 使主矢R搬家，搬家的矩离：,所以在O点处形成一个力螺旋。因为M/是自由矢量，可将M/搬到O处,M/不变，,28,静力学,注意 力系简化中的不变量（不随简化中心改变）有：R，M/简化中心为O时：为M 当简化中心为O时，为M 但M/总是不变的（它是
8、原力系中的力偶与简化 中心无关）,29,静力学,空间力系向O点简化后得主矢R和主矩MO,若MOR，可进一步合成为一个作用在新简化中心O点的合力R。,空间力系的合力矩定理：,30,静力学,一、空间任意力系的平衡充要条件是：,所以空间任意力系的平衡方程为：还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。,4-6 空间一般力系的平衡方程及应用,31,静力学,空间汇交力系的平衡方程为：因为各力线都汇交于一点，各轴都通过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。,空间平行力系的平衡方程，设各力线都/z 轴。因为 均成为了恒等式。,32,静力学,1、球形铰链,二、空间约束,观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三
9、轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。例,33,静力学,球形铰链,34,静力学,2、向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱)轴承,35,静力学,3、滑动轴承,36,静力学,4、止推轴承,37,静力学,5、带有销子的夹板,38,静力学,6、空间固定端,39,静力学,空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是此空间平行力系的中心。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。,4-7 平行力系的中心 物体的重心,一、空间平行力系的中心、物体的重心,1、平行力系的中心,由合力矩定理：,40,静力学,41,静力学,如果把物体的重力都看成为
10、平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。由合力矩定理：,物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况下，(n-)，常用积分法求物体的重心位置。,二、重心坐标公式：,42,静力学,设i表示第i个小部分每单位体积的重量，Vi第i个小体积，则 代入上式并取极限，可得：式中，上式为重心C 坐标的精确公式。,对于均质物体，=恒量，上式成为：,同理对于薄平面和细长杆均可写出相应的公式。,43,静力学,根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与y轴平行，再应用合力矩定理对x 轴取矩得：,综合上述得重心坐标公式为：,若以Pi=mig,P=Mg 代入上式可得
11、质心公式,44,静力学,同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心）坐标分别为：,45,解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段,下面用积分法求物体的重心实例：,例 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。,O,静力学,46,静力学,三、重心的求法：组合法,解：,47,静力学,简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。,实验法：悬挂法,称重法,48,静力学,例 已知:RC=100mm,RD=50mm,Px=466N,Py=352N,Pz=1400N 求：平衡时(匀速转动)力Q=？(Q力作用在C轮的最低点）和轴承A,B的约束反力？,解：选研究对象 作受力图 选坐标列方程
12、最好使每一个方程有一个未知数，方便求解。,49,静力学,50,静力学,51,静力学,方法(二):将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。,52,静力学,一、概念及内容：1、空间力偶及空间力对点之矩是矢量，2、空间力对轴之矩和平面力偶、平面力对点之矩是代数量。3、空间力系合力投影定理：4、空间力系的合力矩定理：5、空间力对点之矩与对轴之矩的关系：,第五章 空间力系习题课,53,静力学,二、基本方程 1、空间力系的平衡方程,空间一般力系,空间汇交力系,空间力偶系,空间x轴力系,空间xoy 面的力系,四矩式、五矩式和六矩式的附加条件均 为使方程式独立。
13、,54,静力学,2、空间力系的几个问题：x,y,z(三个取矩轴和三个投影轴可以不重合)可以任选的 六个轴。取矩方程不能少于三个（MO是矢量）空间力系独立方程六个（空间物体六个自由度）平面三个自由度空间力系中也包括摩擦问题。,55,静力学,2、解题技巧：用取矩轴代替投影轴，解题常常方便 投影轴尽量选在与未知力，力矩轴选在与未知力平行或相交 一般从整体局部的研究方法。摩擦力F=N f，方向与运动趋势方向相反。,3、注意问题：力偶在投影轴中不出现（即在投影方程中不出现）空间力偶是矢量，平面力偶是代数量。求物体重心问题常用组合法。对于均质物体，重心、中心、形心为同一点。,56,静力学,例1 已知:P=
14、2000N,C点在Oxy平面内求：力P对三个坐标轴的矩,解：选研究对象；画受力图；选坐标列方程。,57,静力学,58,静力学,例2 已知：AB=3m,AE=AF=4m,Q=20kN;求:绳BE、BF的拉力和杆AB的内力,由C点：,解：分别研究C点和B点作受力图,59,静力学,由B点：,60,静力学,此题训练：力偶不出现在投影式中力偶在力矩方程中出现是把力偶当成矢量后，类似力在投影式中投影力争一个方程求一个支反力了解空间支座反力,例3 曲杆ABCD,ABC=BCD=900,AB=a,BC=b,CD=c,m2,m3 求：支座反力及m1=?,61,静力学,解：,62,静力学,例4 已知：AB杆,AD,CB为绳,A、C在同一垂线上，AB重80N，A、B光滑接触，ABC=BCE=600,且AD水平，AC铅直。求平衡时，TA，TB及支座A、B的反力。,解：思路：要巧选投影轴和取矩轴，使一个方程解出一个未知数。,63,静力学,64,静力学,65,静力学,本章结束,
