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1、2023/10/21,1,第一章 生存分布与生命表,第一节引言（简单模型）一、生存状况与生存模型 例如，我们考虑一个人30岁的人购买一份期限为10年的生存保险，保额为10 000元。也就是说，如果他活到40岁，将得到10 000元的保险金；如果他在10年内死亡，保险公司不会有任何给付。二、新生婴儿的未来生存时间 一个刚刚出生的个体（0岁），其死亡年龄(或称存活时间)可作为一个随机变量，我们用F(x)表示。,2023/10/21,2,第一节引言（简单模型）,符号(x)表示x岁的生命；用X表示(x)死亡时的年龄，显然，X也是一个随机变量 记X的分布函数为FX(x)FX(x)=Pr(Xx)x0 显然
2、，Xx表示新生儿将于x岁之前死亡的随机事件。于是，概率分布函数FX(x)对应的是一种死亡概率。死亡概率对应，定义函数SX(x)为：1-FX(x)=Pr(Xx)x0 Xx表示新生儿将于x岁之后死亡即新生儿将在x岁还生存的随机事件，所以，为新生儿将在x岁仍然活着的概率 称其为生存函数,简记为S(x),2023/10/21,3,F(x)的概念及其分布函数,可以用F(X)表示连续型和离散型的死亡年龄分布函数,用T(x)表示(x)从现在直到死亡之间的时间长度，显然，(x)在何时死亡是未知的、是不确定的，因此T(x)不是一个确定的数，而是一个随机变量，我们称T(x)为(x)的未来生命时间长度随机变量。,2
3、023/10/21,4,引言,例1-1 假设某地区人群的寿命随机变量分布函数为,求：（1）该地区人群的生存函数；（2）该地区某人将在（70，80）之间死亡的概率。,解（1）当0 x)=1-F(x)=.=,2023/10/21,5,（2）Pr(70 x）岁仍然生存的概率为：,-,2023/10/21,6,其在y岁之前死亡的概率为：,或者,2023/10/21,7,引言,精算学里，通常用符号p、q来表示生存和死亡的概率,表示x岁的人在x+t岁时仍然生存的概率,表示x岁的人在未来t年内死亡的概率。,2023/10/21,8,特别地，t=1时，可以将上述符号左下角的t省略不写 qx=Pr(x)将在未来
4、1年内死亡=Pr(T(x)1)px=Pr(x)将活到年龄x+1=Pr(T(x)1)另外，用t|来表示延期t（年）。因此，对于(x)将在t年后的u年内死亡的概率，我们可以用t|uqx来表示，即,2023/10/21,9,2023/10/21,10,将连续型随机变量T(x)的整数部分用K(x)表示，即K(x)=T(x)。令S(x)=T(x)-K(x)。分别称K(x)和S(x)为(x)的简略未来生命时间长度随机变量和(x)的死亡年残余时间长度随机变量 有 PrK(x)=k=PrkT(x)k+1,2023/10/21,11,2023/10/21,12,在(1-5)用生存函数给出了0岁的人在活到x岁的前
5、提下，在(x,y)之间死亡的概率该条件概率（已到达x岁的人在接下来y-x年内死亡的概率）可以看成x的函数，利用微积分的技术，考虑y-x为无穷小量（令y-x=x），则该概率可以成为一个瞬间的死亡率,对于任意的年龄x，对应的X在x时的条件概率密度函数的值，我们将该函数记为(x),2023/10/21,13,概念：表示年龄为岁的人将在某一瞬间死亡的概率。死力的性质以及F(x),f(x),s(x)和死力的关系,或称为瞬间死亡率，死亡密度,2023/10/21,14,由上式，可以得到,2023/10/21,15,因为,所以,于是,2023/10/21,16,2023/10/21,17,作业：F(x),f
6、(x),S(x)和死力的关系,2023/10/21,18,第二节 生命表,对于具体含义为人的寿命（或未来生命时间长度）的随机变量而言，想要找到一个简单的函数作为其分布函数（或密度函数）几乎是不可能的。需要利用其它描述随机变量的方法，来描述我们所要研究的特定的随机变量X和T(x)。生命表就是一种行之有效的描述随机变量X和T(x)近似特征的方法。生命表函数与生存函数,2023/10/21,19,生命表函数,生存人数死亡人数生存人年数（Lx)与累积生存人年数（Tx）平均余命，记作平均生存函数 考虑一群新生婴儿，共L0=100000名。每个婴儿的死亡情况是相互独立并且具有相同的概率分布，他们的生存情况
7、由生存函数给出。,2023/10/21,20,令L(x)表示这群人在x岁还活着的人数。用j=1,2,l0来记这些人，则有,2023/10/21,21,因为新生儿在x和x+n岁之间死亡的概率为s(x)-s(x+n)，所以有,2023/10/21,22,2023/10/21,23,2023/10/21,24,下面讨论几个概念的关系：,2023/10/21,25,生命表举例，看书,2023/10/21,26,2023/10/21,27,对于表1-2，我们将其看成是一群生命的生存情况表，其中：1这群生命在开始时由l0个0岁生命组成；2该生命群是封闭的。其它任何生命不准进入，成员减少的唯一原因是死亡；3
8、lx是该群生命在x岁还活着的成员的个数；这样，再根据上述有关生命表函数的讨论，我们有：,2023/10/21,28,事实上，生命表的编制是通过利用最近的一段时期的数据如中国人寿保险业经验生命表(2000-2003)所使用的是2000-2003年期间中国人寿保险业有关的数据通过先估计各年龄死亡率qx，然后再由qx衍生出lx的。,2023/10/21,29,第三节 分数年龄假设,生命表所给出的数值都是相应函数在整数点的值。对于非整数值，在表中是找不到的。并且，在对一些其它函数的讨论中可以发现，仅有lx在整数点上的值是不够的。事实上，只有npx和nqx在x和n为整数时可以仅由生命表中的lx给出。因此
9、，还需要对s(0s1)，确定lx+s的值.通常假设lx+s作为s的函数在0，1区间上具有某种数学形式，常见假设有线性假设、指数假设和双曲假设等。也叫做尾龄的各种假设。,2023/10/21,30,第三节 分数年龄假设,关于尾龄的缘由及若干假设 死亡均匀分布假设 常值死力假设 Balducci假设线性假设又叫均匀分布假设或均匀假设，在这种假设下，lx+s具有线性形式，即lx+s可以写成a+bs的形式。由连续性，知道,2023/10/21,31,或者,或者 s(x+t)=(1-t)s(x)+ts(x+1),都称为死亡均匀分布,例，设（x)在x,x+1上服从死亡均匀分布，试证：,2023/10/21
10、,32,事实上，我们有下面的公式成立,2023/10/21,33,这是一个非常简洁且非常实用的结果，它表明，在线性假设下，区间(x,x+1)上的条件死亡密度为一个常数，并且这个常数就是在这个区间上的死亡概率。这同时表明随机变量s在这个区间上是均匀分布的。,lx+s的线性假设通常被称为死亡的均匀分布假设，简称为UDD假设,2023/10/21,34,指数假设（常值死力假设）,指数假设又叫对数线性假设或常力假设，这种假设下lx+s具有指数形式，即它可以写成的 形式,类似的有,2023/10/21,35,这表明S在(0，1)上服从参数为指数的指数分布。所以有时又将指数分布称为常力分布。相应地，将指数
11、假设称为常力假设。,2023/10/21,36,双曲假设,双曲假设又叫调和假设或Balducci假设，这种假设下lx+s具有双曲线形式，即它可写成,2023/10/21,37,类似地，在双曲假设下，可以得到其它生命表函数的表达式。,等等，见教材20页,2023/10/21,38,注意，在调和假设下，死亡力在(x，x+1)上是单调递减的，这和直观的感觉有所不同。一般死亡力描述了个体的瞬时死亡概率随时间变化的情况，因此，具有递增性质的死亡力才是合乎情理的，同时直觉也告诉我们，高龄人死亡的概率应该比年轻人死亡的概率大。当然，这种感觉并不一定总是正确的。事实上，经验表明，人类生命有这样一种特性，由于先
12、天的缺陷或婴儿疾病，在婴幼儿阶段死亡率较高，而后死亡率随年龄的增长而下降，并在30岁左右趋于相对稳定，此后又随年龄的增长而升高。,2023/10/21,39,在保险精算领域，具有递增性质的死亡力是更合理的，也是更常用的假设。首先，因为保险精算实务中更多考虑的是处于稳定年龄段的生命，这种生命的死亡力是递增的。其次，当考虑的是低龄生命时，即使国民生命表相应死亡力呈现先降而后升的形状，对保险公司来说，由于存在选择的过程，所以往往可以将身体虚弱者挡在门外，而只接纳那些身体条件较好者，而这些人的死亡力则是递增的。在前面所作的三种假设中，线性假设下死亡力是递增的；指数假设下的死亡力为常数；调和假设则产生递
13、减的死亡力。,2023/10/21,40,第四节 一些死亡解析律,人们通常利用带有少数几个参数的函数，作为描述人类生存模式的公式，我们将这种带有少数几个参数的公式称为死亡的解析律。有四个重要的死亡解析律，它们在历史上曾经得到过很多的应用，并且直到现在，它们仍然具有重要的理论和应用价值。,2023/10/21,41,第5节 选择和终极生命表,生命表的概念 生命表（Life table）又称（mortality table），它是根据一定时期的特定国家（或地区）或特定人口群体（如寿险公司的全体被保险人、某企业的全体员工）的有关生存状况统计资料，编制成的统计表。生命表是描述人的寿命或（x)的未来寿命
14、的概率分布的一种表示形式。是寿险公司计算纯保险费的重要依据之一。正式生命表经常含有一些基本函数如、,2023/10/21,42,生命表函数,生存人数死亡人数生存人年数（Lx)与累积生存人年数（Tx）平均余命，记作平均生存函数 生命表实例 选择终极生命表,2023/10/21,43,选择终极生命表,概念和原因生命表一般分为国民生命表（national life table）和经验生命表（experience life table）两大类。国民生命表是以全体国民或特定地区的人口生存状况统计资料编制成的，而经验表是人寿保险公司依据过去其承保的被保险人实际的生存状况统计资料编制的。由于国民生命表的资料
15、来源于人口普查资料和抽样调查，其对象男女老幼、体质强弱均有；而人寿保险公司的被保险人，则一般要经体检后合格者才予承保。因此，在同一时期内，国民生命的死亡率一般要高于经验表的死亡率。,2023/10/21,44,选择终极生命表,国民生命表又可分为完全生命表（complete life table）和简易生命表（abridged life table）。完全生命表是根据准确的人口普查资料，依年龄分别计算死亡率、生存率平均余命等生命函数而编制的；简易生命表则采取每年的人口生存状况动态统计资料和人口抽样调查的资料，按年龄段（如5岁或10岁为一段）计算的死亡率、生存率、平均余命等生命函数。经验生命表又可
16、分为终极表（ultimate table）、选择表（select table）、总合表（aggregate table）等。终极表是指根据被保险人最终的死亡率编制的生命表，也就是按照承保选择的影响消失后的死亡率来编制生命表 选择表是一种不同于终极表的生命表。在人寿保险的承保过程中，经过体检等选择的被保险人的死亡率等风险低于一般人口的风险，而且最近几年选择的被保险人的死亡率风险低于前些年选择的被保险人的死亡率风险，考虑到这种选择因素的影响之后编制的生命表称为选择表,2023/10/21,45,选择终极生命表,在考察某种生命的生存情况时，有时可能需要区别该生命的来源，即，不同来源的生命，尽管年龄相
17、同，但是有可能未来的生存情况会不同。例如，对于来自经济、地理和社会条件都有很大不同的地区的相同年龄的人，我们很自然会认为他们的未来生存情况是不同的。在考虑选择的情况下，我们用s(t;x)，t0表示被选择的x岁的人在t年后仍然生存的概率.这个函数与前面我们讨论过的生存函数的性质类似，由此得到的生命表称为选择生命表,2023/10/21,46,选择终极生命表,通常，随着t的增加，选择的意义将逐渐减小，当t足够大时，选择将失去意义。这是因为一般情况下，合理的假设是：对于特定的被选择人群，他们在被单独观察过一段时期后，剩余仍然存活的人群应该与大众人群无异，因此可以对他们使用综合生命表。具有这种性质的生
18、命表叫选择终极表。事实上，经验表明，使选择有意义的时期往往不超过15年。我们把这种使选择有意义的时期叫做观察期。,2023/10/21,47,一点说明,根据人寿保险的经验数据编制的生命表不适用于年金保险，寿险公司常常要为年金保险专门编制一份年金生命表。这主要是因为：购买年金保险的人一般都是身体健康的人，尤其是在使用趸缴保费方式购买年金保险的情况下，年金受益人的死亡率低于人寿保险的被保险人，而且人寿保险的生命表对估计的死亡率作了高估。死亡率低于人寿保险公司的估测会增加人寿保险的安全系数，但对年金保险的影响却恰恰相反，必然导致寿险公司因年金保险而带来的亏损。也就是说，根据以往经验数据编制的年金生命表是不可靠的，因此要结合预测的将来较低的死亡率来编制年金生命表。,
