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1、4.4内容回顾,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、有理函数,的积分,转化为下列三种形式的积分,多项式的积分,(容易),(容易),(容易),机动 目录 上页 下页 返回 结束,记,再利用P209例9的递推公式,(已讲但不需要记忆),至此,理论上有理函数的积分就算解决了,其原函数仍为,初等函数.,二、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式,令,万能代换法,t 的有理函数的积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.三角函数有理式的积分,则,代入原积分得,转化为,2.简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,机动 目录 上
2、页 下页 返回 结束,令,.指数函数有理式的积分,令,被积函数为指数函数有理式,可通过指数代换,化为有理函数的积分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注:特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算.,简便,思考与练习,如何求下列积分更简便?,解:1.,2.原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,积分计算比导数计算灵活复杂,为提高求积分,已把常用积分公式汇集成表,以备查用.,如 P362附录.,积分表的结构:按被积函数类型排列,积分表的使用:,1)注意公式的条件,2)注意简单变形的技巧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的效率,4.5 积分表的使用
3、,第四章,例1.求,解:,应使用 P368 公式105.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,但,无直接公式可套,例2.求,解:,令,则,原式,(P364 公式 37),机动 目录 上页 下页 返回 结束,用公式几？,用公式几？,例3.求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,用公式几？,(公式21),(公式19),习题课 目录 上页 下页 返回 结束,初等函数的原函数不一定是初等函数,因此不一,定都能积出.,如,等.,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,作业P221 3;8;19;24;25,利用和不利用积分表分别计算.,第四章不定积分,微分法:,积分法:,互逆运算但,本章
4、可用四个字及四句话概括如下：,四个字：,难、,四句话：,依型分类很重要；,（烦）,繁、,活、,死。,变凑紧跟末忘掉；,眼光敏锐方法巧；,遇难则往已知靠。,原函数不是初等函数,也称积不出来(死的).,习题课,一、求不定积分的基本方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,第四章,一、求不定积分的基本方法,1.直接积分法,通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.,2.换元积分法,(注意常见的换元积分类型),(代换:),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.分部积分法,使用原则:,1),v易凑易得;,2),比,好求（至少难度不增）.,一般
5、经验:按“反、对、幂、指、弦”的顺序,排前者取为 u,机动 目录 上页 下页 返回 结束,后者与x凑微分得v,多次分部积分的快速计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可按下述快速计算方法:,当 u 为 n 次多项式时,计算,其中,是,的原函数且易求,如,则,+,例1.求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分析:,5,例3.求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(P222 4),=,=,=,例4.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.求,解:取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:此法
6、特别适用于,如下类型的积分:,解：令x=lnt(t1)，则,例6,原式,2,dt,例7.求,解:,设,则,因,连续,得,得,利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、几种特殊类型的积分,1.一般积分方法,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,指数函数有理式,指数代换,2.需要注意的问题,(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合,使用各种基本积分法,简便计算.,因此不一,定都能积出.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,例8.求,解:令,则,原式
7、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(最后注意还原),例9.求,解:令,比较同类项系数,故,原式,说明:此技巧适用于形为,的积分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.,求不定积分,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,关键是部分分式的形式及系数的确定,(P222 39),(P218 15),(P222 38),例11.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,I=,例12,此题有多种解法,的积分,例13,解:,原式=,(还原),=,1,令,（不妨设t）,还原,时，得相同的结果。,可作不同的三角代换，但很麻烦。,解:,备用题1,计算,解:令,.,+1,原式=,三角函数的积分要重视,（因为）,令,
