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1、空间向量及其加减运算,如图，一正三角形钢板，三顶点用等长的绳子绑起，在力F的作用下静止，三绳子的受力情况如何？,F,一创设情境，提出问题,通过这个实验，我们发现三角形钢板受到的三个力的特点是：（1）三个力不共面，（2）三力既有大小又有方向，但不在同一平 面上。这种不在同一平面上的既有大小，又有方向的量，我们称之为“空间向量”。,F,二、类比平面向量，推广到空间,用有向线段画出来；表示方式：或,在平面上，既有大小又有方向的量,在空间，具有大小和方向的量,用有向线段画出来；表示方式：或,长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的,长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的,平面中模为1的向
2、量,空间中模为1的向量,平面中长度相等，方向相反的两个向量,空间中长度相等，方向相反的两个向量,1、基本概念,平面中方向相同且模相等的向量,空间中方向相同且模相等的向量,首尾连接的向量，和向量为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点,空间中，首尾连接的向量，和向量为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点,同起点的两个向量，差向量为连接两个向量的终点，并且指向被减向量。,空间中，同起点的两个向量，差向量为连接两个向量的终点，并且指向被减向量。,空间向量的加减法与数乘运算,向量的加法：,a,b,a+b,平行四边形法则,a,a+b,三角形法则,向量的减法,a,b,a-b,三角形法则,向量的数乘,a,
3、ka,（k0）,ka,（k0）,K=0？,空间向量加法与数乘向量运算律,加法交换律：,a+b=b+a；,加法结合律：,(a+b)+c=a+(b+c)；,数乘分配律：,(a+b)=a+b；,数乘结合律：,(a)=()a,推广,首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：,首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：,空间中，任意两个向量是否可能异面？,4、师生互动，探究问题,例1,5、例题讲解，形成技能,解：,始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体中以公共始点为始点的对角线所示向量,(3)设G是线段AC靠近点A的 三等分点，则,G
4、.,解：,设M是线段CC的中点，则,解：,6、巩固练习,解：,巩固练习,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。,例2：已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。,解：,A,B,E,C,F,D,练习3：空间四边形ABCD中,E、F分别 是BC、CD边的中点,化简：,A,B,E,C,F,D,练习3：空间四边形ABCD中,E、F分别 是BC、CD边的中点,化简：,(2)原式,2、在正方体ABCD-ABCD中,点E是面 AC的中心,求下列各式中的x、y的值.,8 快速检测，查漏补缺,第1题图,第2题图,快速检测答案,2、在正方体ABCD-ABCD中,点E是面 AC的中心,求下列各式中的x、y的值.,快速检测答案,A.BC边的中线上 B.BC边的高线上C.BC边的中垂线上 D.BAC的平分线上,D,4.在空间四边形OABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：,
