空间距离的概念及其求法.ppt

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1、11.2.4 空间距离的概念及其求法,一.几种距离的概念,1.点到平面的距离2.直线到平面的距离3.两平面的距离4.异面直线的距离,二.向量法求距离,(1)点到平面距离的向量公式,d=,(2)线面、面面距离的向量公式,d=,或,d=,(3)异面直线的距离的向量公式,d=,求空间中点到直线的距离,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,E是BB1的中点,则E到AD1的距离是(),A a B a C a D a,解析:连结D1E、AE,过E作EHAD1于H,在AD1E中易求EH=a.,D,求点到平面的距离,已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1

2、中点.(1)证明EF为BD1与CC1的公垂线;(2)求点D1到面BDE的距离.,思路分析:第一问即是证明两组线线垂直,第二问可考虑等体积法。,解答(I)证明:取BD中点M,连结MC,FM,,F为BD1中点,FMD1D且FM=D1D,又EC=CC1,且ECMC,,四边形EFMC是矩形,EFCC1,又CM面DBD1,EF面DBD1,BD1 面DBD1,EFBD1 故EF为BD1与CC1的公垂线.,(II)解:连结ED1,有,由(I)知EF面DBD1,设点D1到面BDE的距离为d,则SDBCd=SDBD1EF.,,AA1=2AB=1.,故点D1到平面BDE的距离为,点评与感悟:等体积法是求点到平面距

3、离的常用方法,一般是找到一个三棱锥,利用选择不同的顶点后,三棱锥自身体积相等的特性进行求解。使用等体积法的前提是几何体的体积一定可以通过题设算得。,设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,),D(,4,8),求D到平面ABC的距离.,解:设平面ABC的法向量n=(x,y,z),,n=0,n=0,,即,令z=2,则n=(3,2,2).,cosn,=,点D到平面ABC的距离为d,,d=|cosn,|=,或,点评与感悟:求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外,还可以借用平面的法向量求得,方法是:求出平面的一个法向量n的坐标,再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量的坐标,,求异面直线间的

4、距离,如图所示,已知四边形ABCD、EADM都是边长为a的正方形,点P、Q分别是ED与AC的中点,,解:建立空间直角坐标系,使得D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、M(0,0,a)、E(a,0,a)、F(0,a,a),则由中点坐标公式得,(1)=(a/2,0,a/2),=(a/2,a/2,a),,=(a/2)a/2+0+a/2(a)=3/4a2,,且=a,=a.,cos,=,故得两向量所成的角为150.,(2)设n=(x,y,z)是平面EFB的单位法向量,即|n|=1,n平面EFB,n,n 又=(a,a,0),=(0,a,a),即有,得其中的一组解,n=(,),=(a/2,0,a/2).,设所求距离为d,则d=|n|=a,(3)设e=(x1,y1,z1)是两异面直线的公垂线上的单位方向向量,则由=(-a/2,0,a/2).=(a/2,a/2,-a),得,求得其中的一个e=(,,),而=(0,a,0).设所求距离为m,则,m=|e|=|a|=a.,本 节 完,

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