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1、,教学评价与测量60 例 2013.10,案例10:符号检验与符号秩检验 问题：如何评价一个定类变量和一个定序变量反映的被评价对象的特征。实例：1以下是一项教学改革前后，随机抽取8位同学的成绩：。,2.某班的男、女生对10道不同的数学题平均得分统计如下表：,试分析男、女生与解不同的数学题是否有显著差异（a=0.05）。,试研究这项改革前后变化是否显著(a=0.05)。,3以下是实行新政策前后某班10名学生综合考试成绩的随机抽样数据：,分别用符号检验法、符号秩检验法，检验实行新政策前后综合考试成绩是否有显著变化（a=0.05）。,教学评价与测量60 例 2013.10,问题解决：评价一个定类变量
2、和一个定序变量所反映的被评价对象的特征，就是研究一个定类变量与一个定序变量相关关系，主要采用专项差异分析的方法，即基于总体之间均值相等，通过专项差异进行分析。因为定类变量与定序变量都不具备完备的运算性能，无法对总体分布作出假设，无法选择合适的统计量，所以相关程度的检验，只能采用非参数检验。而非参数检验就是不需要对总体分布作任何假定的检验，包括对已知分布类型的总体进行的所谓参数检验之外的所有检验方法。本例所采用的符号检验和符号秩检验，就是属于非参数检验的方法。,教学评价与测量60 例 2013.10,符号检验的原理 如果x、y两个总体的分布相同，那么对于均值相同的总体，任意抽取一个单元，其差值的
3、正、负符号出现的概率应该相等。如果样本总体中出现正或负符号的数目，是在总体上述条件下的小概率事件，那么就拒绝x、y 两个总体的分布相同的假设。,若xiyi，d的符号记作+；若xiyi，d的符号记作；若xi=yi，d的符号忽略不记，i=1,2,3,n；其他变量均为控制相同的条件。,符号检验 对有n个观测单元的总体，作两次观测，得到二相关总体的观测值如下：,教学评价与测量60 例 2013.10,符号检验的步骤 给出d的符号，计算“+”号的总数n+和“-”号的总数n-，并且有n=n+n-。构成符号检验的原假设和三种备择假设：原假设H0：P（+）=P（）备择假设H1：P（+）P（）计算 根据显著性水
4、平为a，如果P+a，那么接受原假设；如果P+a，那么接受原假设；如果Pa，那么接受备择假设。,教学评价与测量60 例 2013.10,原假设H0：P（+）=P（）备择假设H1：P（+）P（）无论n+或n，只要有一个足够大就可以拒绝原假设。所以可用n+或n的较大者进行检验，并且P+或P应与a/2比较：根据显著性水平为a，如果 P+或 P a/2，那么接受原假设；如果 P+或 P ga，那么不能拒绝原假设；如果g ga，那么可以拒绝原假设。符号检验的临界值 ga=min n+，n表,符号秩检验 对有n个观测单元的总体，作两次观测，得到二相关总体的观测值如下：,设d=xiyi，若xi yi，d的符号
5、记作+；若xi yi，d的符号记作；若xi=yi，d的符号忽略不记，i=1,2,3,n；其他变量均为控制相同的条件。在符号检验的假定条件的基础上，将|xi-yi|按从小到大次序排列，等于0的不列入，并且给以顺序号，这个顺序号叫做秩。对每一个秩都给出相应的正、负号。如果|xi-yi|与|xi-yi|的顺序号相同，则应该将它们均分，使它们具有相同的秩。,教学评价与测量60 例 2013.10,符号秩检验的原理如果 x、y 两个总体的分布是一样的，那么对于均值相同的总体，任意抽取一个单元，其差值的正、负符号出现的概率应该是相等的，并且正秩和与负秩和的绝对值也应该是相等的。样本总体中出现正秩和与负秩和
6、的绝对值相差甚远，是在总体上述条件下的小概率事件，那么就拒绝 x、y 两个总体的分布相同的假设。符号秩检验的步骤 首先，根据|xi-yi|的大小和符号，赋予它的秩；并且计算正秩和T+和负秩和T-。这样就构成了符号秩检验的原假设和三种备择假设：原假设H0：P（+）=P（），两个总体具有相同的分布备择假设H1：P（+）P（）或P（+）P（）或P（+）P（）再取统计量：T=min（T+，|T-|）。根据显著性水平为，查附表1 符号秩检验表，得到T的临界值T，若T T，则拒绝原假设，若TT，则接受原假设。,教学评价与测量60 例 2013.10,教学评价与测量60 例 2013.10,1.本例根据一项
7、教学改革前后，随机抽取8位同学的成绩，采用符合检验的方法，研究这项改革前后变化是否显著(a=0.05)。,若改革前后无显著变化，则总体P（+）=P（）=0.5。以上为样本数据，难免存在抽样误差。为了排除随机误差的干扰，必须进行统计检验。原假设H0：P（+）=P（）=0.5 备择假设H1：P（+）P（）计算 P（n=7，n+=1）=C87(0.5)7(0.5)1=0.031 P（n=8，n+=0）=C88(0.5)8(0.5)0=0.004 P=P（n=7，n+=1）+P（n=8，n+=0）=0.035 由于P=0.035 a=0.05，故拒绝原假设，接受备择假设，即认为这项改革后成绩增加是显著
8、的。,2.本例根据某班的男、女生对10道不同的数学题平均得分，分析男、女生与解不同的数学题是否有显著差异（a=0.05），采用符合检验的方法，先作数据处理如下。,解一：原假设H0：P（+）=P（）备择假设H1：P（+）P（）计算：P（n+=9）=C99(0.5)9(0.5)0=0.00195，P（n+=8）=C98(0.5)8(0.5)1=0.01755，P（n+=7）=C97(0.5)7(0.5)2=0.07020，P+（7）=0.08970.025=a/2。故接受原假设H0，即男、女生与解不同的数学题没有显著差异。解二：n+=7，n=2，n=n+n=7+2=9；g=min n+，n=min
9、 7，2=2；查表得ga=1，gga。故不能拒绝原假设H0，即拒绝男、女生与解不同的数学题没有显著差异的假设。,教学评价与测量60 例 2013.10,3.本例分别用符号检验法、符号秩检验法，检验实行新政策前后综合考试成绩是否有显著变化（a=0.05），先作数据处理如下：,教学评价与测量60 例 2013.10,符号检验法:H0：P（+）=P（）H1：P（+）P（）计算,P-a=0.05，拒绝原假设，接受备择假设。,符号秩检验法:计算正秩和T+=2，负秩和T-=-53，T=min（T+，|T-|）=2，n=10。根据显著性水平 a=0.05，查符号秩检验表，得到 T 的临界值T=10T=2T=10，拒绝原假设,认为总体间有显著差异。H0：P（+）=P()H1：P（+）P()在H0 的条件下，每一组出现正号或负号的概率相同，都是0.5。出现任何一种10个符号的排列是等概率的，这样不同的排列共有210=1024 种。本题中正秩和的绝对值较小，考虑正秩和的绝对值不超过2的排列只有3 种：d值全为负，正秩和为0；d值在秩1为正，其余秩为负，正秩和为1；d值在秩2为正，其余秩为负，正秩和为2。所以出现正秩和的绝对值不超过2的排列的概率为P=3/1024=0.0029。由于P=0.0029 0.025=a/2，故拒绝原假设，即前后两总体有显著差异。,教学评价与测量60 例 2013.10,
