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1、1,第八章,位 移 法,2,8-1 位移法的基本概念,荷载效应包括：内力效应：M、Q、N；位移效应：A,附加刚臂,Step1：附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生附加力矩。,Step2：对结点施加产生相应的角位移，以实现结点位移状态的一致性。产生相应的附加约束反力。,实现位移状态可分两步完成,3,Step 3：叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；由于原结构没有附加刚臂：因此附加约束上的附加内力应等于0，按此可列出求解结点位移的基本方程。,4,P,B,B,选择基本未知量,物理条件,几何条件,平衡条件,变形条件,5,位移法基本作法小结:
2、,（1）基本未知量是结点位移；,（2）基本方程的实质含义是静力平衡条件；,（3）建立基本方程分两步单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整体分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量;,（4）由杆件的单元刚度方程求出杆件内力，画内力图。,关于刚架的结点未知量,6,8-2 等截面杆件的计算,一、由杆端位移求杆端弯矩,（1）由杆端弯矩,利用单位荷载法可求得,设,同理可得,杆端力和杆端位移的正负规定 杆端转角A、B，弦转角/l 都以顺时针为正。杆端弯矩以顺时针为正,7,（2）由于相对线位移引起的A和B,以上两过程的叠加,我们的任务是要由杆端位移求杆端力，变换上面的式子可得：,8,可以将上式写成
3、矩阵形式,1,2,3,4,结构中可能存在不同支座情况。,9,几种不同远端支座的刚度方程,（1）远端为固定支座,因B=0，代入(1)式可得,（2）远端为固定铰支座,因MBA=0，代入(1)式可得,（3）远端为定向支座,因,代入（2）式可得,10,由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。,4i,2i,0,3i,0,i,i,0,11,二、由荷载求固端反力称为载参数,单跨超静定梁简图,12,在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式：,13,8-3 无侧移刚架的计算,如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称 为无侧移刚架。,1、基本未知量B,2、固端弯矩(确定载常数),3、列
4、单元刚度方程(包含形常数与载常数),4、位移法基本方程（平衡条件）,14,16.72,15.85,11.57,3.21,4、位移法基本方程（平衡条件）,5、各杆端弯矩及弯矩图,M图,(1)变形连续条件:在确定基本未知量时得到满足；,(2)物理条件:即刚度方程；,(3)平衡条件:即位移法基本方程。,超静定结构必须满足的三个条件:,15,例1、试用位移法分析图示刚架。,（1）基本未知量 B、C,（2）固端弯矩(载常数)MF,计算线刚度i，设EI0=1，则,16,(3)位移法方程,17,(4)解方程,(相对值),(5)杆端弯矩及弯矩图,46.9,24.5,1.7,9.8,4.89,M图,18,无侧移
5、刚架位移法分析小结,1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；,2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；,3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括 外力矩。,19,复习角变位移方程中的杆端剪力：,其中,绘制弯矩图的方法：,（1）直接由外荷载及剪力计算；,（2）由转角位移方程计算。,8-5 有侧移刚架的计算,20,例：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。解：1）基本未知量：,2）各柱的杆端剪力侧移刚度J=3i/h2，则：Q1=J1，Q2=J2，Q3=J3,Q1+Q2+Q3=P,J1+J2+J3=P,柱顶剪力：,柱底弯矩：,3）位移法方程 X=0,M,结点集中力作为各柱总剪力，按各柱
6、的侧移刚度分配给各柱。再由反弯点开始即可作出弯矩图。,21,其中,复习角变位移方程中的杆端剪力：,绘制弯矩图,.,M（ql2）,22,例1.用位移法分析图示刚架。,解（1）基本未知量B、,（2）单元分析,23,（3）位移法方程,QBA+QCD=0.(2a),24,（4）解位移法方程,（5）弯矩图,MAB=-13.896 kNm,MBA=-4.422kNm,MBC=4.422kNm,MDC=-5.685kNm,QBA=-1.42kN,QCD=-1.42kN,13.896,4.422,4.422,5.685,M图（kNm）,25,基本未知量为：,26,基本未知量为：,27,第一种基本思路,位移法思
7、路(直接平衡方程法)以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力-位移(转角-位移)关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下的受力 将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别,建立和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨梁力-位移关系可得原结构受力,28,8-4 位移法的基本体系,一、超静定结构计算的总原则:欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。,力法的特点：基本未知量多余未知力；基本体系静定结构；基本方程位移条件（变形协调条件）,位移法的特点：基本未知量 基本体系 基本方程,独立结点位移,平衡条件,？,一
8、组单跨超静定梁,29,二、基本未知量的选取,2、结构独立线位移：,（1）忽略轴向力产生的轴向变形-变形后的曲杆与原直杆等长；,（2）变形后的曲杆长度与其弦等长。,上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。,每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：,1、结点角位移数：结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。,30,线位移数也可以用几何方法确定。,1,4,0,将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。,3
9、1,F11+F12+F1P=0(1a),F21+F22+F2P=0(2a),三、选择基本体系,四、建立基本方程,32,F11+F12+F1P=0(1a),F21+F22+F2P=0(2a),=1,k11,k21,=1,k12,k22,=0.(1),=0.(2),k111,+k122,+F1P,k211,+k222,+F2P,k11=10i,k21=-1.5i,k12=-1.5i,33,位移法方程：,六、绘制弯矩图,1.4,M(kNm),五、计算结点位移,34,k11 1+k12 2+k1n n+F1P=0,k21 1+k22 2+k2n n+F2P=0,kn1 1+kn2 2+knn n+Fn
10、P=0,1,2,2=1,k110+k21 1,=k12 1+k22 0,具有n个独立结点位移的超静定结构：,位移反力互等定理,35,第二种基本思路,位移法思路(典型方程法)以位移为基本未知量,先“固定”（不产生任何位移）考虑外因作用，由“载常数”得各杆受力,作弯矩图。令结点产生单位位移（无其他外因），由“形常数”得各杆受力,作弯矩图。两者联合原结构无约束，应无附加约束反力（平衡）.列方程可求位移。,36,基本思路,两种解法对比：典型方程法和力法一样，直接对结构按统一格式处理。最终结果由叠加得到。直接平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具体问题建平衡方程。其概念更加清楚，杆端力在求得位移后代转角位
11、移方程直接可得。最终方程都是平衡方程。整理后形式均为：,37,例1、试用位移法分析图示刚架。,（1）基本未知量,（2）基本体系,计算杆件线刚度i，设EI0=1，则,1、2、3,38,（3）位移法方程,k11 1+k12 2+k13 3+F1P=0,k21 1+k22 2+k23 3+F2P=0,k31 1+k32 2+k33 3+F3P=0,（4）计算系数：k11、k12、k13、k21、k22、k23、k31、k32、k33,3,2,4,1.5,3,k11=3+4+3=10,k12=k21=2,k13=k31=?,3,4,2,2,1,k22=4+3+2=9,k23=k32=?,39,(1/1
12、2)2052=41.7,3=1,1/2,1/2,9/8,9/8,k33=(1/6)+(9/16)=35/48,k31=k13=9/8,k32=k23=1/2,（5）计算自由项：F1P、F2P、F3P,(1/8)2042=40,F1P=4041.7=1.7,F2P=41.7,F3P=0,40,（6）建立位移法基本方程：,（7）解方程求结点位移：,（8）绘制弯矩图,M图（kNm）,18.6,42.8,47.8,26.7,23.8,14.9,5,3.6,8.9,3.97,（9）校核,结点及局部杆件的静力平衡条件的校核。,41,8-5 对称结构的计算,对称结构在对称荷载作用下变形是对称的，其内力图的特
13、点是：,对称结构在反对称荷载作用下变形是反对称的，其内力图的特点是：,利用这些特点，可以取结构的一半简化计算。,42,一、单数跨,(1)对称荷载,1,MP,k11 1+F1P=0,(2)反对称荷载,E,反弯点,A,B,43,二、偶数跨,(1)对称荷载,q,C,C,M=Q=0,N=0,反弯点,无限短跨,+,(2)反对称荷载,44,三、联合法,=,+,P/2,力法:6个未知量,位移法:6个未知量,部分力法,部分位移法:4个未知量,45,M反对称,M对称,M图(kN.m),46,MP,M反对称,等代结构,47,=20kN.m,=8kN.m,=8kN.m,=4kN.m,4,M对称,48,*8-6 支座
14、移动和温度改变时的计算,基本方程和基本未知量以及作题步骤与荷载作用时一样，只是固端力一项不同。,M图,一、支座移动时的计算,49,M反=0,50,例:试作图示结构弯矩图.,二、具有弹性支座时的计算,51,二、温度改变时的计算,固端弯矩,杆件内外温差产生的“固端弯矩”,C,C,对称结构对称荷载，对称轴上的点无转角和水平侧移,立柱可自由伸长不产生内力，横梁伸长时，柱子产生侧移,=TLM=3i/h,升温TC,温变产生的轴向变形使结点产生已知位移，从而使杆端产生相对横向侧移产生的“固端弯矩”,例：求图示排架温度均匀升高To所产生的弯矩。各梁截面尺寸相同，各柱截面也相同，弹性模量均为E。,由结果可见：温度变化引起的位移与EI大小无关，内力与EI大小有关,52,例：图示结构各杆尺寸相同，截面高度h=0.6m。作弯矩图。,AB柱缩短t0 l=40,CD柱伸长t0 l=40,BC梁缩短t0 l=60,各杆端的相对线位移AB=60 BC=80,在杆件中面温差作用下：,中面温差,壁面温差,53,由温度引起的载参数,单跨超静定梁简图,54,杆端弯矩为,=86.5EI,=49.6EI,=81.8EI,=49.7EI,86.5,M图EI,49.7,55,例:作M图，EI=常数,解:,56,例:作M图，EI=常数,t1t2,同上例,F1t的计算:,=,+,同上例,
