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1、1,第六章,定积分的应用,若能把某个量表示成定积分,我们就可以应用定积分计算这个量,2,(3)求和，,(4)求极限，,相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，,小窄曲边梯形的面积为,则,而第i个,得A的近似值,得A的精确值.,回顾：曲边梯形的面积表示为定积分的步骤：,3,a,b,x,y,o,对以上过程进行简化:,的面积，,则,取,这种简化以后的定积分方法叫“微元法”或“元素法”,4,一、定积分的元素法,1.什么问题可以用定积分（元素法）解决?,表示为,1)所求量 U 是与区间a,b上有定义的f(x)有关的,2)U 对区间 a,b 具有可加性,即可通过,“大化小,常代变,近似和,取极限”,定积分定
2、义,一个整体量;,5,第一步，根据具体情况，,选取积分变量，,确定x的变化,区间a,b.,第二步，把区间a,b分成n个小区间，,取一代表区间,求出该区间上所求量的部分量的,称为量U的微元.,第三步，写出定积分的表达式：,近似表达式,这个方法通常叫做元素法,元素的几何形状常取为:,条,带,段,环,扇,片,壳等,先作图,2.应用定积分的元素法解决问题的具体步骤是：,6,3.使用元素法时应注意：,则U相应地分成许多,即如果把区间,a,b分成许多部分区间，,部分量，,而U等于所有部分量之和.,则U在a,b 上的值可由定积分,示为,(3)在a,b中任取的小区间,上的部分量,来计算.,7,1.直角坐标系下
3、平面图形面积的计算,梯形的面积为 A.,X 型,(2)由曲线,所围图形的面积.,其面积元素为：,则面积为,二、定积分在几何学上的应用,8,(4)由曲线,所围图形的面积.,其面积元素为：,则面积为,的面积A.,Y 型,9,总之,10,回顾：极坐标系,1.极坐标系的定义：,在平面上取定一点o，,叫做极点.,从极点出发引一条射线Ox,叫极轴，,并取定一个长度单位,和计算角度的正方向(通常取逆时针方向作正方向),这样,就建立了一个平面极坐标系.,2.极坐标与直角坐标的互化,11,过点M(a,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程,极坐标与直角坐标的关系:,3.几个常用曲线的极坐标方程,12,r,y,圆极坐
4、标方程,圆极坐标方程,圆极坐标方程,13,2.极坐标系下平面图形面积的计算,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积.,解:在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,14,3.已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则在小区间,的体积元素为：,立体体积为：,上连续,A(x),x,a,b,15,(1)曲边梯形,旋转一周围成的旋转体的体积为：,(2)曲边梯形,绕 y 轴旋转一周围成的旋转体体积为：,4.旋转体的体积,16,a,b,y,x,o,x,dx,生成的旋转的体积.,求旋转体体积,x+dx,内表面积：,柱壳法,17,a,b
5、,y,x,o,x,dx,生成的旋转的体积.,求旋转体体积 柱壳法,x+dx,底面积：,18,围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周,所以：由连续曲线,类似地，,如果旋转体是由连续曲线,而成的立体的体积.,而成的立体的体积.,19,5.弧长(数1、数2),(2)参数方程,(3)极坐标方程,注意:求弧长时积分上下限必须上大下小,20,6.旋转体的侧面积,(数1、数2),设平面光滑曲线,求,它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.,积分后得旋转体的侧面积,取侧面积元素:,(注意在不同坐标系下 ds 的表达式),21,X 型,Y 型,请熟记以下公式：,22,注意：,1)以上公式都要求,2)复杂图形应学
6、会分割.,3)不能用公式时应会元素法.,4)若曲边梯形的曲边为参数方程,则上述公式可以用定积分的换元法处理.,5)若曲边梯形的曲边为极坐标方程,则可转化为直角坐标系下的参数方程：,6)与弧长有关时,其限应上大下小.,23,解:,典型例题分析,24,解:,25,A,B,解：,依题意有,26,例4.计算抛物线,解：如图，,求两曲线的交点,27,而成的旋转体的体积.,分析：无公式可用,可用元素法.如图:,例5.,解法1:选择 y 作积分变量,解法2:选择 x 作积分变量,28,思考:过坐标原点作曲线,轴围成平面图形D.,解:(1)设切点的横坐标为,则所求切线方程为,由切线过原点知,的切线.该切线与,
7、故切线方程为,(2003考研),(1)求 D 的面积;,(2)求D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积.,29,(2)求D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积.,(2)切线、x 轴及直线,所围三角形绕直线,旋转所得圆锥的体积为：,曲线、x 轴及直线,所围图形绕直线,旋转所,因此所求旋转体体积为：,得旋转体体积为：,30,解:,31,解:,32,解:,33,解:,34,(1)求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.,(2)计算摆线,的一拱与 y0所围,成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋转而成的立体体积.,(3)计算摆线,的一拱的长度.,练习题：,35,提示:计算摆线,平面图形分别
8、绕 x 轴,y 轴旋转而成的立体体积.,解：绕 x 轴旋转而成的体积为,P280例8,用柱壳法求 较好,36,证:,设正弦线的弧长等于,设椭圆的弧长等于,故原结论成立.,37,试用定积分求圆,上,半圆为,下,求体积:,解:,方法1 利用对称性,而成的环体体积 V 及表面积 S.,方法2 用柱壳法,例8.,38,上,半圆为,下,解:,求侧面积:,试用定积分求圆,而成的环体体积 V 及表面积 S.,例8.,39,解：如图,立体的体积.,例9.,40,例10.,在 x0 时为连续的非负函数,旋转一周所成旋转体体积,证明:,证:,利用柱壳法,则,故,41,思考:求曲线,与 x 轴围成的封闭图形,绕直线
9、 y3 旋转得的旋转体体积.,(94 考研),解：利用对称性,故旋转体体积为,在第一象限,42,回顾：变力沿直线所作的功,二、定积分在物理上的应用,设物体在连续变力 F(x)作用下沿 x 轴从 x a 移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.,在其上所作的功元素为,因此变力F(x)在区间,上所作的功为,解：,43,0,1,x,解:,设木板对铁钉的阻力为,第一次锤击时所作的功为,例1.用铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比,在击第一次时,将铁钉击入木板1厘米,如果铁锤每次锤击铁钉所作的功相等,问锤击第 二 次时,又将铁钉击入多少？,设两次击入的总深度为 厘米,依题意知:,故第二次击入的深度为,P292第5题,44,谢 谢 大 家！再见,例2.,设有一长度为 l,线密度为(x)的细直棒,求该棒的质量m及平均密度.,解：建立坐标系如图.,细棒上小段,对应的质量微元为:,平均密度为：,
