自考概率论课件第四章数字特征.ppt

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1、第 四 章随 机 变 量 的数 字 特 征,4.1 随机变量的期望,一、离散型随机变量的数学期望,定义：设离散型随机变量X 的分布律为 P(X=xk)=pk k=1,2,若级数 绝对收敛，则称 为随机变量X 的数学期望简称期望或均值.记作EX，即EX=否则称随机变量X的数学期望不存在.,注意：,(1)定义中要求级数 绝对收敛,保证了级数的 和(期望值)不因求和次序的改变而改变.即若EX存在,则必唯一.,（2）当X的取值只有有限个，则,（3）EX是常数,它反映了随机变量X取值的平均位置.,例1 掷一枚骰子，X表示出现的点数，求EX.,解：,X 1 2 3 4 5 6,P 1/6 1/6 1/6

2、1/6 1/6 1/6,EX=11/6+21/6+31/6+41/6+51/6+61/6,=3.5,例2(例4-1)设X的分布律为,X-1 0 1,P 0.3 0.2 0.5,求EX.,解：,EX=-10.3+00.2+10.5,=0.2,练习：,X-1 0 1 2,P 0.2 0.3 0.1 0.4,求EX.,常见分布的期望（离散型）,1.0-1分布：,X 0 1,P 1-p p,EX=p,2.二项分布：XB(n,p),则,EX=np,如：X B(10,0.4),EX=100.4=4,3.泊松分布：XP(),则,如：,EX=5,EX=1,例3【例4-3】设XB(5,p),且EX=1.6,求p

3、.,EX=5p，,例4 X服从泊松分布,且EX=3，写出X的分布律.,解：,5p=1.6,p=0.32,解：由EX=3得：,定义：设连续型随机变量X 的概率密度为f(x),若积分,二、连续型随机变量的数学期望,绝对收敛，则称,为X的数学期望，记作EX.,例4-7 设,求EX.,随机变量XUa,b，求数学期望EX.,解：,区间中点,常见分布的期望（连续型）,1.均匀分布：,若XU1,5,则EX=,3,若XU-1,1,则EX=,0,2.指数分布：设随机变量X 服从E()，求X 的期望.,则EX=,解：,3.正态分布：设 X N(,2)，求 X 的数学期望.,=1/,如：XN(0,1),则EX=,0

4、,XN(-1,4),则EX=,-1,定理,设 Y=g(X)，g(x)是连续函数，那么,(2)若X为连续型随机变量，其密度函数为 f(x)，,(1)若X 为离散型随机变量，其概率函数为,三、随机变量函数的数学期望,解：,例4-6 设随机变量X的分布律为,X-1 0 0.5 1 2,P 0.3 0.2 0.1 0.1 0.3,求：EX2，E(2X).,解：,=1.625,E(2X)=,-20.3,+00.2,+10.1,+20.1,+40.3,=0.9,=1.1,例3 设连续型随机变量X的密度函数为：,解：,求：EX2，E(2X).,可看出：E(2X)=2EX,练习：,求：EX，EX2，E(2X)

5、,EX=1,EX2=4/3,E(2X)=2,定理,若(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y),(1)若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布为,(2)若(X,Y)为连续型随机变量，联合密度函数为 f(x,y)且,例4-12 已知(X,Y)的分布律为：,X,Y,0,1,0 1,1/3 0,1/2 1/6,求：EX,EY,E(XY).,解：先求边缘分布.,X 0 1,P 1/3 2/3,Y 0 1,P 5/6 1/6,故 EX=2/3,EY=1/6.,E(XY)=,=1/6,练习：,X,Y,-1,1,1 2 3,0.1 0 0.2,0.2 0.1 0.4,求：EX,EY,E(XY).,EX=

6、0.4，EY=2.3，E(XY)=0.9,解：,设(X,Y)的联合密度为,例4-13,求：(1)E(X+Y);(2)E(XY);(3)P(X+Y1).,1/2,性质1 Ec=c,推论：E(EX)=EX,性质2 E(X+c)=EX+c,四、数学期望的性质,性质3 E(cX)=cEX,性质4 E(aX+b)=aEX+b,性质5 E(X Y)=EX EY,推论 对任意常数ci,常数b及随机变量Xi(i=1,2,n),性质6 若X与Y独立，则E(XY)=EXEY.,可以推广到n个独立的随机变量的情形.,反之不然.,解：EX=90.3+100.5+110.2=9.9,例1 两相互独立的随机变量 X，Y

7、的分布如下表所示.,求：E(X+Y)，E(XY).,因 X与Y独立，故 E(XY)=EX EY=9.96.6=65.34,则 E(X+Y)=EX+EY=9.9+6.6=16.5,EY=60.4+70.6=6.6,例2 设X服从2,4上的均匀分布,YN(1,4),求：E(X+2Y).,解：,=3，,EY=1，,则 E(X+2Y)=EX+2EY,=5,若X与Y独立，则E(XY)=,EXEY,=3,4.2 方 差,仅有数学期望EX是不够的，有时仅靠期望（平均值）不能完全说明问题.例如：比较两个班概率论与数理统计的考试成绩,当平均分数相同时，就需要从另一个方面比较.即比较分数的分散程度，就是分数与平均

8、分数的偏离程度，如果一班的成绩平均偏离较小，说明该班成绩较集中在平均分附近，反映学习能力整齐，否则，说明该班学习能力参次不齐.,解：,甲、乙两块手表，日走时误差分别为随机变量 X1,X2（单位：秒），其概率函数分别如表 1、表 2 所示.试比较两块手表的优劣？,引例：,从平均值意义上看，两块手表质量相同.,从概率分布上看，甲表质量优于乙表.,方差,需比较|X-EX|，其大小反映误差分散的范围.,|X-EX|,(X-EX)2,考虑数字特征,E(X-EX)2,一、方差的定义与计算,10 称 X-EX 为随机变量X的离差，且E(X-EX)=0.,设E(X-EX)2存在，则称E(X-EX)2为随机变量

9、X 的方差.记作 DX 或 VarX，即,1.定义,DX=E(X-EX)2,注：,20 方差DX就是X的离差平方的期望.且DX=E(X-EX)20的数.,称为X的标准差（均方差，或根方差）.,40 方差DX刻划了取值与均值EX的平均偏离程度.粗略地讲,方差DX越大，的取值越分散；DX越小，X的取值越集中.,50在数学推导中常用方差DX，而在实际应用中则更常用标准差，这是因为标准差的量纲和随机变量的量纲一样.,如果X是离散型随机变量，并且 PX=xk=pk(k=1,2,)，则,如果X 是连续型随机变量，并且有密度函数 f(x)，则,2.方差的计算,（1）定义法,（2）重要计算公式,方差的计算公式

10、：,证：DX=E(X-EX)2,=EX2-2X EX+(EX)2,=EX2-E(2X EX)+E(EX)2,=EX2-2EX(EX)+(EX)2,=EX2-(EX)2,设两批纤维的长度分别为随机变量 X1,X2,其分布律为：,例4-16,解：,=1,=10000.,=10000.,EX=0.2，,EX2=50.2，,DX=EX2-(EX)2=50.2-0.04=50.16,求：DX1，DX2.,解：,DX2=EX22-(EX2)2=(-2)20.1+(-1)20.2+00.4+10.2+220.1=1.2,因为,因为甲手表较乙好.,例4-18 设随机变量X的期望EX=2,方差DX=4,求E(X

11、2).,解：DX=E(X2)-(EX)2,E(X2)=DX+(EX)2,=4+4=8,求DX.,例4-19,解：,练习：,求DX.,=3/80,常见分布的方差：,1.0-1分布,2.二项分布,设XB(n,p),概率分布为,EX2=12p=p,DX=EX2-(EX)2=p-p2=pq,3.泊松分布,如：XB(10,0.2),则DX=,XP(5),则DX=,1.6，,5.,4.均匀分布 XUa,b，求方差DX.,解：,5.指数分布,6.正态分布,则,如：XN(0,1),则 EX=，DX=,0,1,如：XN(-1,42),则 EX=，DX=,-1,16,如：XU(-1,4),则 EX=，DX=,3/

12、2,25/12,如：,则EX=，DX=,2,4,三、方差的性质,性质 1 Dc=0,证:D(c)=E(c-Ec)2=E(c-c)2=0,性质 2 D(X+c)=DX,性质 3 D(cX)=c2DX,证：D(cX)=EcX-E(cX)2=,性质 4 D(aX+b)=a2 DX(a,b 为常数),EcX-cEX 2=Ec2(X-EX)2,=c2DX,性质 5 若随机变量X，Y独立，则D(X Y)=DX+DY.,证：D(X Y),=E(X Y)-E(X Y)2,=E(X-EX)(Y-EY)2,=E(X-EX)2+(Y-EY)2 2(X-EX)(Y-EY),=DX+DY 2E(X-EX)(Y-EY),

13、=E(X-EX)2+E(Y-EY)2 2E(X-EX)(Y-EY),而E(X-EX)(Y-EY)=EXY-XEY-YEX+EXEY,D(X Y)=DX+DY,10若X1,X 2,Xn 独立,则D(X1+X 2+X n)=DX1+DX2+.+DXn,D(a1X1+a2X 2+anXn)=a12 DX1+a22 DX2+.+an2 DX n,=E(XY)-EXEY,又X,Y独立，所以,E(XY)=EX EY,E(X-EX)(Y-EY)=0,所以,注：,20D(X Y)=DX+DY 2E(X-EX)(Y-EY),30 E(X-EX)(Y-EY)=E(XY)-EXEY,一、协方差,1.协方差的定义,定

14、义 对于二维随机变量(X,Y),称E(X-EX)(Y-EY)为X与Y的协方差 记作Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY),注：10X与Y的协方差是反映X与Y之间相关关系的一个特征数.,2.协方差的计算,协方差的计算公式,两个重要结论：,（1）若X与Y独立，则,Cov(X,Y)=0.,（2）对X与Y有 D(X Y)=DX+DY 2Cov(X,Y),20协方差是方差的推广，或方差是协方差的特例：Cov(X,X)=DX.,反之不然.,4.3 协方差 相关系数,Cov(X,Y)=E(XY)EX EY,例1 设二维随机变量(X,Y)的联合分布如下表所示，求 Cov(X,Y).

15、,解：可求出(X,Y)关于X,Y的边缘分布：,EX=(-1)3/8+02/8+13/8=0 EY=0,故 Cov(X,Y)=E(XY)-EX EY=0,虽然 Cov(X,Y)=0，但 P(X=0,Y=0)P(X=0)P(Y=0)X,Y不独立.,X 与 Y独立,Cov(X,Y)=0,=0,解：由联合密度可求出(X,Y)关于X,Y 的边缘密度函数分别为：,解：因为,例3例4-31设(X,Y)圆域 上服从均匀分布，求Cov(X,Y),并问X,Y是否相互独立？,可求得边缘分布为：,显然，,故X,Y是不独立.,=0，,同理，EY=0.,=0，,性质4 Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov

16、(X2,Y),性质1 Cov(X,Y)=Cov(Y,X),性质2 Cov(X,c)=0,性质3 Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y),Cov(X,Y)=E(X EX)(Y-EY),3.协方差的性质,注：协方差的缺点：Cov(X,Y)在一定程度上反映了X与Y的相关关系，但它是一个有量纲的量，即：若X、Y各放大k倍，直观讲X与Y之间的关系不应因放大相同倍数而变化，但是协方差在数值上是原来的k2倍,Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y).,1.定义：对于二维随机向量(X,Y),如果 DX 0,DY 0，则称,二、相关系数,则,为X,Y 的线性相关系数，简称相关系数.,记作X,Y 或 XY

17、 或.即：,例1 已知DX=4,DY=25,=0.6,求：D(X+Y),D(X-Y).,解：,=0.625=6,D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y),=4+25+12=41,D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y),=4+25-12=17,例1 设二维随机变量(X,Y)的联合分布如下表所示，求 X,Y,解：可求出X,Y的边缘分布：,EX=10.3+20.7=1.7 EY=(-1)0.3+00.6+10.1=-0.2,Cov(X,Y)=E(XY)-EX EY=-0.5-1.7(-0.2)=-0.16,2.相关系数的性质,性质 1 X,Y=Y,X aX,aY=X,Y,性质 2|1,|=

18、1,称X 与Y 完全线性相关,|1,X与Y 之间线性相关的程度随着|的减少而减弱,=0,称X 与Y 不相关或零相关.,相关系数 是刻划X,Y之间线性关系强弱的特征数.,注：X 与Y 独立，则X 与Y 不相关(=0).反之不然.,1.原点矩,定义：随机变量X的k次幂的数学期望叫做X的k阶原点矩 记做k，即,三、矩,定义：X-EX的k次幂的期望叫随机变量X的k阶中心矩.记做k，即,2.中心矩,标准化随机变量：,基本要求:1.理解数学期望、方差的概念，并掌握它们的性质与 计算.2.要熟记0-1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差，并熟练应用.3.熟记协方差、相关系数

19、的定义，会计算.重点：数学期望、方差性质与计算.常用分布的数学期望与方差.,本章小结,补充作业：,1.设随机变量X服从1，5上的均匀分布，则期望EX与方差DX的值分别为().,2.设随机变量X服从正态分布N(1,4),Y服从1,3上的均匀分布 则E(2X-Y)=().3.设随机变量X的概率分布为,则D(-2X+3)=().,X 0 1 2,P 0.2 0.3 0.5,4.设X服从二项分布，且EX=2，DX=1.2，求参数n,p.,5.设X服从泊松分布，且DX=2，写出X的概率分布.,6.设X服从指数分布，且DX=1/9，写出X的密度函数.,7.设DX=4，DY=16，相关系数,，求D(X+Y)，D(X-Y).,8.设随机变量X的密度函数为,求：(1)P(-1X1)；(2)EX，DX.,9.设随机变量X的密度函数为,求：(1)P(-1X0.5)；(2)DX.,10.设随机变量X的密度函数为,求：(1)P(-1X0.5)；(2)DX.,11.设随机变量X服从正态分布N(1,4)，Y服从二项分布B(20,0.1)，X与Y独立，求D(2X+Y).,12.设随机变量X服从均匀分布U(1,4)，Y服从=2的指数分布，X与Y独立，求D(2X+3Y).,