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1、三角函数及三角恒等变换,人民教育出版社 龙正武,2,B 版：第一章 基本初等函数（）第三章 三角恒等变换,为什么叫基本初等函数（II）？为什么要分成两章？,3,三角函数的地位与作用,传统：测量。课标：三角函数是描述周期现象的重要的数学模型。电磁波 Fourier级数,4,第一章基本初等函数（）,1.1 任意角的概念及弧度制1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的图象与性质,5,1.1 任意角的概念及弧度制,1.1.1 角的概念的推广,6,各角和的旋转量等于各角旋转量的和。,7,例 1 射线 OA 绕端点 O 顺时针旋转 80 到 OB 的位置，接着逆时针旋转 250 到 OC 的位置，然后再
2、顺时针旋转 270 到 OD 位置，求 AOD 的大小。,转角运算的几何意义。,8,为什么要这样做？,角运算的几何意义，有助于帮助学生理解，为用对称变换等证明诱导公式打下伏笔。,a,9,思考与讨论,如果 a 是第一象限的角，那么 a 的取值范围可以表示为怎样的不等式？如果 a 分别是第一、第二、第三和第四象限的角，那么 分别是第几象限角？,10,可能存在的困难,为什么要对 k 这样分类讨论？,11,练习A 1.判断：（2）终边相等的角一定相等。如果角a 和角b 的终边相同，则它们之间的大小有何关系？答：存在一个整数 k，使得a-b=k360。,12,1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算,旋
3、转时，射线上的点形成圆弧。,为什么不用单位圆定义？,13,角的集合与实数集 R 之间的一一对应。,角度制是60进制，弧度制是十进制。,角度值换算为弧度值的算法。建议讲解：机械，但步骤清楚。,角度数 n 与角度 n 的区别。,例 3 可以不讲，例 4 要求学生掌握。,14,1.2 任意角的三角函数,1.2.1 三角函数的定义 锐角三角函数,15,任意角三角函数的定义:相似三角形为什么不用单位圆定义？,16,三角函数的自变量,如果点 P(x，y)是角 a 终边上一点，那么定义 称为余弦函数。问题：余弦函数中的自变量是谁？,17,教材：叫做角a 的余弦，记作cos a，即,对于每一个确定的角a，有唯
4、一的余弦值与之对应，因此这个对应法则是以 a 为自变量的函数，叫做 a 的余弦函数。,18,例 2 求下列各角的六个三角函数值：（1）0；（2）p；（3）。练习A 3.填表：特殊角的三角函数。探索与研究：算任意角的三角函数值的算法。,19,1.2.2 单位圆与三角函数线,用到了轴上向量及其数量的知识。建议先讲点轴上向量的知识（数学二2.1.1 或 数学四）。可以用有向线段来解释。,20,为什么要用单位圆？正切线为什么在 x=1 这条线上？,21,思考与讨论：时，的大小关系。,22,1.2.3 同角三角函数的基本关系式,例3.已知求 tan a 的值。,23,奇变偶不变，符号看象限。,诱导公式传
5、统的处理方式：,1.2.4 诱导公式,24,A(cos a，sin a),B(cos(-a)，sin(-a),C(cos(a+p)，sin(a+p),25,B,26,1.3 三角函数的图象和性质,27,设 t=sin x，则有 y=(t-1)2+2，t-1，1。转化为二次函数的问题。y=(sin x-0.5)2+2 y=-(sin x-3)2+2,求 y=(sin x-1)2+2 的值域,1.3.1 正弦函数的图象与性质,28,在闭区间-1，1上，当 t=-1 时，|t-1|最大，函数 y=(t-1)2+2 取得最大值，最大值为 6。在闭区间-1，1上，当 t=1 时，|t-1|最小，函数 y
6、=(t-1)2+2 取得最小值，最小值为 2。,29,y=(sin x-1)2+2 y=(sin x-0.5)2+2 y=-(sin x-3)2+2,30,“我们可以把 2x 当成一个新的变量 u，即u=2x。函数 y=sin u 的周期为 2p，这就是说，当 u 增加到且至少要增加到 u+2p时，函数的值才重复取得，而u+2p=2x+2p=2(x+p)。因此，当自变量 x 增加到且必须增加到x+p 时，函数的值才重复取得。因此函数y=sin 2x 的周期为 p。”,已知 f(x)的周期为 T，则 f(3x)的周期为？,求周期：y=sin 2x,31,余弦函数正切函数 先图象还是先性质？,1.
7、3.2 余弦函数、正切函数的图象和性质,32,注意细节,数学四第52页例2：判断 y=cos x+2 的奇偶性。因为 f(-x)=cos(-x)+2=cos x+2，所以是偶函数。,33,解：把函数 y=cos x+2 记为f(x)=cos x+2。因为 f(-x)=cos(-x)+2=cos x+2=f(x)，所以是偶函数。平移 y=sin x+2,34,1.3.3 已知三角函数值求角,重点在于特殊值，其余的了解即可。,课标上没有要求。,35,第三章 三角恒等变换,3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式3.3 三角函数的积化和差与和差化积 课标：经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的
8、过程，进一步体会向量方法的作用。,36,3.1 和角公式,3.1.1 两角和与差的余弦共有四种证明方法：,B,E,C,A,D,F,37,38,39,存在整数 k，使得,40,探索与研究,N,R,Q,a,41,练习A 1.下式成立吗？,上式一定不成立吗？,恒等问题是学生的一个难点。,42,3.1.2 两角和与差的正弦,例：已知点 P(x，y)，与原点距离保持不变，逆时针旋转角到点 P(x，y)。求证：,43,例 4 求函数 y=asin x+bcos x的最大值、最小值和周期，其中 a，b 是不同时为零的实数。角 j 的存在性和唯一性。,44,3.1.1 两角和与差的正切,45,3.2 倍角公式
9、,3.2.1 倍角公式,46,3.2.2 半角的正弦、余弦和正切公式,47,3.3 三角函数的积化和差与和差化积,48,49,探索与研究,50,函数 的周期和奇偶性。,2007 广东,函数 的图象经过点（0，1），求周期和初相。,51,函数 的最小正周期和最大值分别为，。,2007山东卷,由函数 的图象怎样才能得到函数 的图象？,52,函数 的图象。,2007 海南、宁夏,若，求 的值。,53,函数 的周期和奇偶性。,2008 广东,函数 的最大值为 1，图象经过点。（1）求解析式。（2）已知，且 求 的值。,函数 的最小正周期。,54,已知，则 的值为。,2008山东卷,函数 为偶函数，且图象的两相邻对称轴的距离为。（1）求 的值。（2）平移后求单调区间。,55,已知函数 的图象，求 w 的值。,2008 海南、宁夏,求 的值。,函数 的最值。,56,如图，在平面直角坐标系中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 a、b，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点。已知 A、B 的横坐标分别为、。（1）求 tan(a+b)的值。（2）求a+2b 的值,2008 江苏,x,y,a,B,b,A,57,龙正武,谢谢大家！,
