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1、1,函数的孤立奇点及其分类(P193),一、函数孤立奇点的概念及其分类二、函数各类孤立奇点的充要条件三、用函数的零点判断极点的类型四*、函数在无穷远点的性态,2,例1,是函数,的孤立奇点.,一、函数孤立奇点的概念及其分类,3,解,的奇点存在,函数的奇点为,总有,4,5,定义1 若Laurent级数(5-1-1)中所含(z-z0)的负幂项的项数分别为1）零个，2）有限个，3）无穷多个，则分别称z0为f(z)的可去奇点、极点和本性奇点。且当z0为极点时，若级数中负幂的系数c-m0 并且cn=0(n=-m-1,-m-2,),则称z0为f(z)的m级极点，一级极点又称为简单极点。,6,1 可去奇点,如
2、果Laurent级数中不含 的负幂项,则称孤立奇点 称为 的可去奇点.,定义,二、函数各类孤立奇点的充要条件,7,可补充定义,存在，,则 必是 的可去奇点。,(由于这个原因，因此把这样的奇点z0叫做 f(z)的可去奇点。),这样得到下面的结论：,8,由定义判断:,幂项,由有界性判断：,的可去奇点的充要条件为,注：函数f(z)的可去奇点z0看作它的解析点，且规定,9,解,无负幂项,另解,10,由于z=0为函数 的可去奇点，且当z0时，f(z)1，因此可补充定义 f(0)=1，使 f(z)在整个复平面上处处解析。,11,如果补充定义:,时,12,Schwarz 引理,13,2 极点,其中关于,的最
3、高幂为,即,的(m级)极点.,那末孤立奇点,称为函数,定义,如果Laurent级数中只有有限多个,的,负幂项,14,则,由极点的定义,15,注意到:,由此可得：,16,的极点的充要条件是,为函数,例,有理分式函数,是二级极点,是一级极点.,由此也得：,17,的Laurent展开式中含有,的负幂项为有限项.,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析,且,由定义判别：,由定义的等价形式判别：,由极限判别：,判断.,18,例如 是函数 的二级极点，这里,19,解,注意:不能以函数的表面形式作出结论.,解析且,20,定理 点 为 的 阶极点的充要条件为 是 的 阶零点。,推论2 若点 为函数 的
4、阶零点(k=1,2)，则z0为函数 的 阶零点；当 时，z0为函数 的 阶极点。,注意：若函数 在点 解析，则当 为函数 的 阶零点或 阶极点时，也分别是函数 的 阶零点或 阶极点。,21,解,这些奇点是,孤立奇点.,上述定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.,22,例3 求下列函数孤立奇点的类型，并指出极点级数（2）解：显然 和 是函数 的孤立奇点，分别取 和,则可见z=1和z=-1分别是f2(z)的二阶极点和三阶极点。,23,（4）解：点 为 的一级零点;函数 的零点为，且 在这些点处不为零，由定理，这些点为函数 的一级零点。由定理2的推论2，为函数 的二级零点，又由推论1及其注意
5、，它为 的二级极点，而为 的简单极点。,24,练习,求,的奇点,如果是极点,指出它的,级数.,答案,25,3 本质（性）奇点,则孤立奇点,称为,的本性奇点.,若Laurent级数中含有无穷多个,的负幂项,例如，,含有无穷多个z的负幂项,同时,不存在.,26,例,为f(z)的本性奇点，因为：,27,综上，当z0为f(z)的孤立奇点时，可用极限 值存在有限、为、不存在，来区分奇点是可去奇点、极点还是本性奇点。,28,综上所述:,孤立奇点,可去奇点,m级极点,本性奇点,Laurent级数的特点,存在且为有限值,无负幂项,含无穷多个负幂项,不存在,29,4、解析函数在无穷远点的性质,定义 如果函数 在
6、区域 内解析，则称无穷远点 为 的孤立奇点。在 内，的罗伦展开式为 作变换，则在 内的解析函数 的罗朗展开式为：,30,定义 如果 是函数 的可去奇点，极点或者本性奇点，则 分别称是 的可去奇点，(m级)极点或者本性奇点.因此（1）如果当 时，,那么称z=为函数 的可去奇点；（2）如果只有有限（至少有一个）正整数，使得，那么称z=是函数f(z)的极点。,（3）如果有无穷多个正整数，使得，那么称z=是函数f(z)的本性奇点。,31,当z=是函数 f(z)的极点时,设对于正整数m，cm0,且当km时，ck=0，此时称z=是函数 f(z)的m级极点。特别地，当m=1时，称z=是函数f(z)的单极点。,32,定理3 设函数 在区域：内解析,那么 是函数 的可去奇点，极点或者本性奇点的充分必要条件分别为：存在着有限极限，无穷极限或者不存在任何极限（包括无穷）。推论 设函数 在区域：内解析,那么 是函数 的可去奇点的充分必要条件为：存在着某个数 使得 在 内有界。,
