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1、2023/10/22,1,随机过程教程第6讲 记忆特性随机过程,2023/10/22,2,记忆特性随机过程,纯粹独立随机过程设有时间连续（时间离散随机）过程，任意时刻，相互独立，称为纯粹独立随机过程。,N维时，,2023/10/22,3,纯粹独立随机过程,时间连续客观上难以存在但可以作为理想白噪声的模型时间离散客观上是存在的常作为时间离散白噪声的模型特例：独立同分布序列：离散纯粹独立随机过程的每个随机变量都具有相同的概率分布函数。,2023/10/22,4,独立增量过程,设有时间连续（时间离散随机）过程，任意时刻，相互独立，称为独立增量随机过程。,独立增量过程,2023/10/22,5,独立增
2、量过程,pmf和cdf的表示,记,概率密度函数为,2023/10/22,6,离散时间独立增量过程的例子：和过程,定义：为一个独立同分布序列，为和过程。,2023/10/22,7,性质pmf性质和过程的例子二项计数过程一维随机游走过程,离散独立增量过程,2023/10/22,8,醉汉开始从一根电线杆的位置出发（其坐标为x=0，x坐标向右为正，向左为负），假定醉汉的步长为l，他走的每一步的取向是随机的，与前一步的方向无关。如果醉汉在每个时间间隔内向右行走一步的几率为p，则向左走一步的几率为q=1-p，记录醉汉向右走了R步，向左走了L步，即总共走了N步。那末醉汉在行走了 N步以后，离电线杆的距离为
3、x，其中 x=(R-L)l。然而我们更感兴趣的是醉汉在行走N 步以后，离电线杆的距离x的概率P。,一维随机游走过程和二项计数过程,2023/10/22,9,参数为p的bernoulli独立同分布序列Xn，其和过程Yn称为二项计数过程。,离散独立增量过程,2023/10/22,10,离散独立增量过程,2023/10/22,11,离散独立增量过程,2023/10/22,12,离散独立增量过程,以均值和方差为例,2023/10/22,13,离散独立增量过程,2023/10/22,14,连续时间独立增量过程,Poisson过程Poisson过程的导出过程Wiener过程,2023/10/22,15,定
4、义 称一个随机过程 是一个计数过程(point process),若N(t)满足:,1)N(t)取非负整数值；,2）若st,则 N(t)-N(s)等于区间(s,t 中“事件”发 生的次数.,Poission过程,2023/10/22,16,背景:考虑在时间间隔(0,t中某保险公司收到的某类保险的理赔次数N(t),它是一个计数过程.此类过程有如下特点:(1)零初值性：N（0）=0；(2)独立增量性：在不同的时间区段内的理赔次数彼此独立；(3)平稳增量性:在同样长的时间区段内理赔次数的概率规律是一样的;(4)普通性:在非常短的时间区段t内的理赔次数几乎不可能超过1次,且发生1次理赔的概率近似与 t
5、成正比.,Poission过程的定义,2023/10/22,17,定义:计数过程N(t),t0称为具有参数(或强度)的Poission过程(或Poission 流)，如果1）N(0)=0;2）具有独立增量性;3）满足增量平稳性;4）对于任意t0和充分小的，有 其中 为 的高阶无穷小。又称 为Poission过程的强度系数,Poission过程的定义,发生的概事件率和时间近似成正比,2023/10/22,18,定理 若N(t),t0为Poission过程，则,可得到Poission过程的等价定义:,1）N(0)=0，2）独立增量过程;3）发生的概事件率和时间近似成正比,此即,Poission过程
6、,2023/10/22,19,一阶概率质量函数,Poission过程,2023/10/22,20,Poisson过程的一阶概率密度函数,极值点K=3,黄线K=5,绿线K=7,红线,2023/10/22,21,Poisson过程的数字特征,2023/10/22,22,例 设N(t)表示0,t时段内事件A的发生次数,且N(t),t0 形成强度为的Poisson过程.如果每次事件A发生时以概率p能够被记录下来,并以M(t)表示到t时刻记录下来的事件总数,试证明M(t),t0 形成强度为p 的Poisson流.,解：对照Poisson过程的定义1)M(t),t0是一计数过程,且M(0)=0;2)每次事
7、件发生时，对它的记录与对其它事件的记录独立，故M(t),t0具有独立增量性；只需验证 3),2023/10/22,23,由全概率公式，,2023/10/22,24,设首次地震发生(t=0)后的一段时间内，破坏性余震发生序列是一个强度为(次/小时)的泊松过程.任意时刻t0,以V(t)表示t时刻之前最后一次破坏性余震直到t时刻所经历的时间;以W(t)表示t时刻之后直到下一次破坏性余震发生的剩余时间.(1)求V(t)与W(t)的分布函数;V(t)与W(t)独立吗?(2)已知在此之前最后一次破坏性余震发生到现在已过了s小时,求未来t小时内没有破坏性余震发生的概率.,2023/10/22,25,解:(1
8、),2023/10/22,26,因为泊松过程是独立增量过程,故V(t)与W(t)独立.,(2),2023/10/22,27,设N(t),t0为泊松过程，N(t)表示在0,t内事件发生的次数，令，表示第k个事件发生的时刻;表示第k-1个事件与第k个事件发生的时间间隔，即,先讨论到达时间间隔 的Tk分布.,泊松过程的性质:Poisson间隔,2023/10/22,28,定理 到达时间间隔序列 相互独立同分布，且服从参数为 的指数分布.,定理 提供了Poisson过程的参数估计方法.,Poisson过程停留于某个状态的时间Poisson间隔是指数分布随机变量,总结:,泊松过程的性质:Poisson间
9、隔,2023/10/22,29,参数的极大似然估计:一般地,若从0时刻开始,观察到Poisson过程N(t),t0的一段样本轨道:1,n的取值:t1t2,tn,由于,1,2-1,n-n-1独立同指数分布,于是似然函数为,令,得的极大似然估计为:,2023/10/22,30,定理 到达时间 的概率密度函数为,定理 提供了Poisson过程的参数的区间估计法:根据定理,的概率密度函数为,备查：1）的特征函数为,分布函数为：,2023/10/22,31,2023/10/22,32,定理 若计数过程N(t),t0的到达时间间隔序列 是相互独立同参数为的指数分布，则 N(t),t0是参数为的泊松过程.,
10、定理 提供了对泊松过程进行计算机模拟及其统计检验的理论基础与方法，只需产生n个同指数分布的随机数,将其作为Ti,i=1,即可得到Poisson过程的一条样本轨道.,2023/10/22,33,设有n位顾客在0时刻排队进入仅有一个服务员的系统.假定每位顾客的服务时间独立,均服从参数为的指数分布.以N(t)表示到t时刻为止已被服务过的顾客人数.求（1）EN(t);（2）第n位顾客等候服务时间的数学期望;(3)第n位顾客能在t时刻之前完成服务的概率.,提示:的分布函数是,例,2023/10/22,34,解:（1）,N(t),t0为强度possion 过程，故 EN(t)=t；（2）记第n位顾客完成服
11、务的时间为，第n位顾客等候服务时间为,(3)根据定理,或,2023/10/22,35,Poisson过程性质:事件发生时刻的均匀性,设Poisson过程在 内事件只发生了一次，x为在 内事件发生的时刻（证明略）说明了Poisson过程事件发生的时刻具有均匀性,2023/10/22,36,Wiener过程 一维Wiener过程,一维随机游走过程的推广均值方差一阶概率密度函数高阶概率密度函数,X(t)是一个粒子在时刻t的位置，满足条件：(1)X(0)=0(2)X(t)是一个齐次独立增量过程；(3)设x是粒子在时间t内的位移，则(4)在任意时刻t，粒子向右或向左运动的概率为1/2.,2023/10/22,37,为当前时刻。,Markov过程,2023/10/22,38,Markov过程,定义三条性质二维概率密度函数完全决定无后效性C-K方程,
