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1、第二章,连续时间系统时域分析,连续时间系统分析的任务：建立系统模型 对已知的系统模型和输入信号求输出响应系统时域分析方法包括：时域经典法 时域卷积法,2.1引言,系统微分方程的建立与求解初始状态的确定（换路定律，冲激匹配法）零输入响应与零状态响应冲激响应与阶跃响应卷积积分及其性质利用卷积求零状态响应算子符号表示微分方程,主要内容,2.2微分方程的建立,总结：,一个n阶线性连续系统用一元n阶线性微分方程描述,当系统由参数恒定的线性元件组成时，则构成的系统是线性时不变系统，体现在方程形式上为线性常系数微分方程。,微分方程建立的两类约束 来自连接方式的约束:kvl和kil,与元件的性质无关.来自元件
2、伏安关系的约束:与元件的连接方式无关.,元件伏安关系,d.耦合电感:,课后练习:2-1,解的形式:全响应=齐次解rh(t)+特解rp(t),2.3用时域经典法求解微分方程,1.齐次解rh(t),2.特解rp(t):与激励的形式有关,将特解代入原方程，使方程两边系数相等求得特解中的系数,由边界条件，即激励作用期间的某一时刻t0输出r(t)及其各阶导数的值来确定，一般取t0=0+,3.确定齐次解中的待定系数Ai,全响应齐次解rh(t)+特解rp(t),含待定系数,自由响应与强迫响应,完全响应=齐次解+特解自由响应：齐次解（形式与系统的特征根相关 系数与激励信号相关）强迫响应：特解（完全由激励信号决
3、定）固有频率（自由频率）：特征方程的根,经典法不足之处：若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。,卷积法：系统完全响应=零输入响应+零状态响应系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的 起始状态单独作用而产生的输出响应。系统的零状态响应是当系统的起始状态为零时，由系统的外部激励产生的响应称为系统的零状态响应。,2.4起始点的跳变,二.为什么要研究起始点的跳变,一.系统的状态,*起始状态(0-状态):系统在激励信号加入之前的瞬间状态,*初始状态(0+状态):系统在激励
4、信号加入之后t=0+时刻的状态,*跳变值:系统在0+时刻的零状态响应,根据换路定律:电容电压在没有冲激电流或者阶跃电压直接作用于元件时,在换路瞬间将保持原值.电感电流在没有冲激电压或者阶跃电流直接作用于元件时,在换路瞬间将保持原值.,1.换路定律2.根据 3.根据元件特性与拓扑结构求其它电流电压值,三.根据具体电路确定初始条件,例：电路如图所示，t=0以前开关位于“1”，已进入稳态，t=0时刻，开关自“1”转至“2”。1.从物理概念判断2.写出t0时间内描述系统的微分方程，求vo(t)的全响应,解:1.,2.t0时,电路方程为:,强迫响应=0;完全响应=自由响应,课后练习:2-8,四.根据冲激
5、函数匹配法确定初始条件,依据：0-到0+状态是否有跳变,看将e(t)代入方程后,方程右边有无冲激函数及其各阶导数项.,如果包含 及其导数，可能利用冲激函数匹配法求出 即可确定初始条件，从而求解全响应如果不包含 则 易知初始条件，从而求解全响应,冲激函数匹配法说明:1.描述系统的微分方程应该在整个时间范围内成立,在引入冲激函数之前,函数在不连续点的导数不存在.冲激函数的引入解决了函数在跳变点处导数的存在问题,使得微分方程在整个时间范围内得以成立.,2.根据阶跃,冲激以及冲激偶等奇异函数的微积分关系,表明函数在跳变点处的导数要出现冲激函数，如果由于激励的加入,微分方程右端出现冲激函数项(包括导数形
6、式),则方程左端也应该有对应相等的冲激函数项.匹配就是使左端产生这样一些对应相等的冲激函数,它们的产生,意味着r(k)(t)中某些函数在t=0点有跳变.,原理：t=0时刻微分方程左右两端的 应该相等。,例：,方程右端无冲激函数，起始点没有跳变,对不是冲激函数项，不必考虑匹配,例：,方程右端有冲激函数，起始点发生跳变,解：,从最高项开始匹配,用数学方法描述冲激函数匹配法,课后练习:2-5,2.5零输入响应与零状态响应(LTI系统),完全响应=自由响应+强迫响应=齐次解+特解=零输入响应（rzi）+零状态响应(rzs)=暂态响应+稳态响应,完全响应的几种分解：,零输入响应：没有外加激励信号的作用，
7、只由起始状态所产生的响应。可用时域经典法求取零状态响应：起始状态为零，由系统外加激励信号所产生的响应。可用卷积的方法求取，也可用时域经典法,一般微分方程,对于零输入响应应满足下面的微分方程及 的解,零输入响应为为：,对于零状态响应应满足下面的微分方程及=0,零状态响应解为：,时域经典法,对于零状态响应：,卷积法,系统响应的表达式:,原来齐次解的部分划分成了两大子部分,解的形式相同,但是决定待定系数的条件不同.,P84 2-6,课后练习:2-7,a.分解特性:系统响应可以分解为零输入响应与零状态响应.b.零状态线性:起始状态为零时，零状态响应对于外加激励信号呈线性.c.零输入线性:外加激励为零时
8、，零输入响应对于各起始状态呈线性关系.,线性概念的扩展:,思考：,2.6冲激响应与阶跃响应,一.冲激响应 系统在起始状态为零的条件下，以单位冲激信号激励系统所产生的零状态响应，以符号h(t)表示。,冲激响应表征系统本身的特性，不同的系统h(t)不同。因果性：h(t)=0 t0稳定性：h(t)=0 t,系统在起始状态为零的条件下，以单位阶跃信号激励系统所产生的零状态响应，以符号g(t)表示。,二.阶跃响应,三.求解h(t),1.写出激励与响应关系的微分方程,冲激匹配法,待定系数法,例：系统的微分方程如下：h(t)=?,冲激匹配法：,代入方程，根据冲激函数在方程两边系数相等得,只表示t=0处有一个单位跳变,齐次解:,初始条件：,求得系数为:,例：LTI系统的微分方程如下：h(t)=?,解：系统的冲激响应满足如下微分方程：,待定系数法：,当系统受u(t)激励时，方程式右端可能包括u(t),冲激函数及其各阶导数，此时求阶跃响应方法与求冲激响应的方法类似。不同之处是有阶跃函数出现，在阶跃响应的表示中除齐次解外，还有特解项。也可利用 求得,阶跃响应的求解,解：,或者，先求系统的单位冲激响应，积分后得阶跃响应,特解,齐次解,课后练习:2-9,2-10,
