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1、1,利 息 理 论,参考书：金融数学引论 吴岚 黄海 编著北京大学出版社 2005,2,第一章 利息基本计算,利息基本函数利率现值名利率与名贴现率利息力与贴现力利息基本计算,在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值，资金周转使用时间越长，实现的价值增值越大。同时，等额的货币在不同时间上由于受通货膨胀等因素的影响，其实际价值也是不同的。因此，货币的使用者把货币使用权转让给其他经济活动者，他应该获得与放弃这个使用机会时期长短相应的报酬。,定义 利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转让货币使用权所得的报酬。,利息的计算与累积函数的形式、利息的计息次数有关。,4,1.1 利息基本函数,一般地，一
2、笔金融业务可看成是投资一定数量的钱款以产生利息，初始投资的金额称为本金，而过一段时间后收回的总金额称为累积值。,累积值=本金+利息,假定：设一旦给定了原始投资的本金数额，则在以后任何时刻累积值均可确定，且设在投资期间内不再加入或抽回本金。也就是说，资金数额的任何变化严格说都是由利息效应产生的。自融资假设,5,定义1.1 考虑一单位本金，记原始投资为1时在任何时刻的累积值为a(t)，称为累积函数。,a(t)的性质：a(0)=1;a(t)通常为增函数；,典型累积函数:,1.1.1 累积函数,6,定义1.2 A(t)=ka(t)称为总量函数，它给出原始投资为k时在时刻t=0的累积值。,记从投资之日算
3、起第n个时期所得到的利息金额为In.则In=A(n)-A(n-1)(1.1),注 设t为从投资之日算起的时间，用来度量时间的单位称为“度量时期”或“时期”，最常用的时期为一年,以I（t)表示t时刻的利息额，则I(t)=A(t)-A(0),7,定义1.3 时间区间 内总量函数A(t)的变化量(增量)与期初货币量的比值称为在时间区间 内的利率,记为,为了表示货币价值的相对变化幅度,度量利息的常用方法是计算所谓的利率.,特别地,当 时,记,表示从投资之日算起第n个时期的利率.,8,定义1.4(实)利率i是指在某一时期开始时投资1单位本金时，在此时期内应获得的利息。,如：一年期存款，年利率i=2.25
4、%,故a(1)=1+2.25%本金100元，年末累积值为100(1+2.25%)=102.25元,如果记息期为标准时间单位,通常是一年,一月或一季,或”一个时期”,则所得利率常称为实(质)利率.,显然，A(n)=A(n-1)(1+in),注（1)利率常用百分比表示。（2）本金在整个时期内视为常数（3)利率是一种度量，其中利息在期末支付。它可用累积函数确定如下：,1.1.1.单利和复利,定义1.5 若有这样一种累积计算方式:1个货币单位的投资，在每一时期中得到的利息为常数，则称对应的利息计算方式为简单利息计算方式,简称单利方式.对应的利息称为单利.,结论1.2 在单利方式下,其累积函数为线性的:
5、a(t)=1+it 对整数 t0其中i称为单利率.,定义1.6 若有这样一种累积计算方式:1个货币单位的投资，经过任何一个单位的计息期产生的利率为常数，则称对应的利息计算方式为复合利息计算方式,简称复利方式.对应的利息称为复利.,复利计算模式的基本思想是:利息收入应该自动地被记入下一期的本金.,复合利息计算方式中的”复合”一词意味着将利息经过再投资后再次产生新利息的过程.,11,定义1.6 若有这样一种累积计算方式:1个货币单位的投资，经过任何一个单位的计息期产生的利率为常数，则称对应的利息计算方式为复合利息计算方式,简称复利方式.对应的利息称为复利.,复利计算模式的基本思想是:利息收入应该自
6、动地被记入下一期的本金.,复合利息计算方式中的”复合”一词意味着将利息经过再投资后再次产生新利息的过程.,12,结论1.3 复利的累积函数是a(t)=(1+i)t 对整数t0其中i称为复利率.,单利与复利的异同(1)单利与复利对单个度量时期会产生同样的结果。对较长的时期，复利比单利产生较大的累积值，而对较短的时期则相反。(2)增长形式不同：对于单利来说，它在同样长时期内的增长绝对值保持为常数；而对复利来说则是增长的相对比率保持为常数。即 对单利：a(t+s)-a(t)不依赖于t 对复利：a(t+s)-a(t)/a(t)不依赖于t(3)单利常用于人民币存款及利率不足期的近似计算；复利常 用于贷款
7、，保险，投资收益分析等场合.,(1)查出目前市面流通或发行的债券，与同期存款利率进行比较。(2)考察1970年以来人民币存款利率的变化情况,查阅经济方面有关利率变化的文章,对未来5年的利率变化趋势作出你的建议.(3)某人有10万元本金，准备投资5年，请根据以上分析,提供几种投资方案.,小课题1,http:/,14,1.1.3 贴现函数,考虑这样的问题：一笔十年后付1000元的付款，相当于现在付多少元？购房时，一次付清可享受适当的优惠，一次付清与分期付款到底那个合算?,定义1.7.称一单位金额在t时期前的值或t时期末一单位金额在现在的值为t时期现值。称a-1(t)=1/a(t)为贴现函数。,定义
8、1.8 记对应利率i,称v=1/(1+i)为贴现因子。（相应的1+i称为累积因子）,15,定义1.9 称 为在时间区间 的贴现率。,特别:,表示第n个时期内的贴现率.,与复利方式下的累积过程类似,若每个时期内的贴现率相同,则称该相同的贴现率为复贴现率.记作d.显然,16,一时期内金额的改变可以称为“利息”，也可以称为“贴现”，但两者意义不同。利息本金基础上的增加额，在期末支付，其计算的依据为期初余额。贴现累积值基础上的减少额，在期初支付，其计算的依据是期末余额。,用利率i可以很方便地计算：利息=本金*i贴现率有类似的作用：贴现=期末值*d,注:,17,例1 假设某人A到银行以实贴现率6%借10
9、0元，为期1年，一年后A还给银行100元。则1)银行实际付给A多少元？2)这相当于利率是多少的贷款？解:,定义1.10 称两个贴现率或利率等价，如果对给定的投资金额，在同样长的时期内两者具有同样的累积值或现值。,d与i之间的几种变形有一些有趣的字面解释：1/(1+i)=1-d-此方程两边均表示在期末支付1的现值。d=i/(1+i)-期初投资1，在1时期末赚得的利息i按贴现因子贴现到期初即为贴现率d。i-d=id-某人可借贷1而在期末归还1+i，也可以借贷1-d而在期末归还1。表达式i-d是所付利息的差额，此种差额是因为所借本金相差d而产生的。金额d依利率i在一时期末的利息就是id.,19,1.
10、1.4.名利率与名贴现率,在实际金融业务中，常会遇到这样的说法：“年利10%,半年结算一次”、“季度复利10%”或“月度复利10%”等等。由于一年内结算次数不同产生了利率的“名不副实”，表面给定的数据10%就是名利率。,定义1.11 若在单位记息期内,利息依利率换算m次,则称i(m)为名利率(挂牌利率).,20,注:所谓名利率i(m)指每1/m时期支付一次的利率，也就是说，对于每1/m时期，一本金的利息是i(m)/m而不是i(m)。,定义1.12 利息支付及再投资以赚取额外利息的周期称为“利息转换时期”,名利率与实利率的关系,设一时期的名利率为i(m),与之等价的利率为i，则应有1+i=(1+
11、i(m)/m)m。于是有 或,例2.贷款人A开价年利率为9%,贷款人B开价季度复利8.75%，而贷款人C开价月度复利8.5%。某人需要为期一年的贷款，问谁的贷款好？解:对B:,对C:,故C的贷款好.,22,定义1.13 每一时期支付m次的名贴现率记作d(m).表示每1/m 时期支付d(m)/m 的实贴现率。,例1.1.6.试确定100元在两年之末的累积值。A)如果名利率为季度转换6%.B)如果名贴现率为季度转换6%.解:,设累积值为x,则,23,名利率与名贴现率之间的关系,考虑,与,(1.3),如果m=p,则,(1.4),将(1.4)式两端同乘以（1-d(m)/m)得,(1.5),它表明每一利
12、息转换时期内利息与贴现的差额是因为期初本金相差d(m)/m产生的。金额d(m)/m依利率i(m)/m在该利息转换时期末的利息就是(i(m)/m)(d(m)/m)。,25,1.1.5 连续利息计算,定义1.14 设累积函数a(t)为t的连续可微函数,则称,(1.6),为累积函数a(t)对应的利息力函数,并称利息力函数在t时刻的值为t时刻的利息力。,利息力描述利息在时刻t的运行强度，它与资金金额无关,26,可用t描述A(t)或a(t)。,或,(1.8),(1.7),利息力在理论上可以随时变化。然而在实际中它经常保持为常数。如果利息力在某时间区间上为常数，则利率在此区间上也为常数。这可在n个度量时期
13、上用公式(1.7)而得。,(1.9a),所以,或,(1.9b),28,贴现力,类似于 定义贴现力为，,负号是为了保证此式 为正，但可证明,故只用t就足够了。,设一时期的名利率为i(m),名贴现率为d(p),与之等价的利率为i，则有,小结,贴现率：,利率：,单利:a(t)=1+it；复利：a(t)=(1+i)t；单贴现：a-1(t)=1-dt，(0t1);复贴现：,30,1.2 利息基本计算,一个利息问题包含四个基本的量：1.原始投资的本金2.投资经过的时间3.利率4.本金在投资期末的积累值,其中任何三个量的值都可以决定第四个量的值.,31,解求值方程的有力工具-时间图,上图表示某人先取得(借贷
14、)500元，按分期付款偿还.第一、二、三时期末各付100元，第四时期末需付多少？符号 表示比较日期。,32,未知时间问题,有时会出现这种情况，需找出一个时刻，使在这个时刻上的一次付款等于在不同时刻的几次付款。,例.预定在第2,3,8年末分别付款100元、200元、和500元，假设实质利率为5%，试确定一个一次付款800元的时刻，使它与前几次付款等价。解:设在t时刻付款,上述问题可一般叙述为：设在时刻t1,t2,tn分别付出金额s1,sn,求时刻t，使在该时刻付出 等价于上述分次付款。其求值方程为,这种方法求t也叫精确方法。在实际中，为计算方便，t经常用各个付款的加权平均来近似计算，其中权取为各
15、次付款的金额，即,称为等时间法。可以证明,换言之，用等时间法的现时值小于真实的现时值。,未知利率问题,例.1000元要在6年内积累到1600元，季度转换利率应取多少？解:,例.如果现在投资1000元，3年后再投资2000元，问半年度转换利率应取多少才能使在10年后积累到5000元？解:,解,36,此类问题的一般提法是，已知一系列的投资或收入资金流：x1,x2,xn,分别代表t1,t2,tn时刻的投资。求这一资金流的实质利率 收益率。其求值方程为,37,非整数时期问题,常用的三种度量时间的方法:(1)(精确法):1年按365天,投资时间=实际投资天数/365;(2)(普通法):假设每月有30天,
16、1年为360天,这时计算两个给定日期之间天数的公式为,(3)(银行家利息法则):投资时间=实际投资天数/360,38,按照国外多数银行的做法，计息方式采用整数时期计复利，分数时期计单利的做法。如要计算1单位本金在m+x时期内的积累值，其中m为整数、x为分数，0 x1,则,类似有,例 某人在2002年1月31日存入1000元定活两便存款,并于2004年5月20日取出,若约定年利率为1.7%,计息方式采用整数时期计复利,分数时期计单利的规则,并采用普通法计算时间,求此人取款时的累积值.,解:采用普通法投资天数为:,故,投资时期长为:,取款时的累积值为,课堂练习,(P27,21)已知季度换算名贴现率
17、为8%，分别对以下两种情况计算第25个月底的5000元在当前的现值：（1）全部时间采用复贴现模式计算；（2）前面两年采用复贴现模式计算，而在最后不足年的时间内采用单贴现模式计算。（P27,22）为了在第4年底收益2000元，第10年底收益5000元，当前选择这样的投资：前两年每年初投入2000元，第3年初再投入一部分。若季度换算名利率6%，试计算第3年初投入的金额。(p28,25)已知年利率为8%，且第n年底和第2n年底投入100元的现值之和是100元。试计算n(p28,32)某杂志社提供下列两种预定杂志的方式:(1)现在付款15元，6个月后付款16.5元;(2)现在一次性付款28元。假设两种方式无差异，试计算隐含的年实利率。(p28,40)甲以名利率 购得1000份100元面额的26周国债。(1)计算价格P；(2)近似推导名利率 的波动对价格P的影响（3）当名利率波动一个百分点时，近似计算价格P的波动范围。,
