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1、一、线性微分方程的解法,(一)线性微分方程的解的结构,问题:,1.二阶齐次方程解的结构:,例如,线性无关,线性相关,1).函数的线性相关性,例如,2)二阶齐次线性方程的通解,2.二阶非齐次线性方程的解的结构 1)通解的构成,2)特解的叠加原理,(二)降阶法与常数变易法1.齐次线性方程求线性无关特解-降阶法,代入(1)式,得,则有,解得,刘维尔公式,齐次方程通解为,降阶法,的一阶方程,设对应齐次方程通解为,(3),设非齐次方程通解为,设,(4),2.非齐次线性方程通解求法-常数变易法,(5),(4),(5)联立方程组,积分可得,非齐次方程通解为,解,对应齐方一特解为,由刘维尔公式,对应齐方通解为
2、,例,设原方程的通解为,解得,原方程的通解为,小结,主要内容,线性方程解的结构；,线性相关与线性无关；,降阶法与常数变易法；,补充内容,可观察出一个特解,(三）齐次线性方程,1.定义2.解法,1、由对结果的猜想得：,2、对判别式的讨论,齐次线性方程,有两个不相等的实根,由定理2得通解：,特征根为,有两个相等的实根,特征根为,问：如何求通解？,通解显然不是,于是须寻找新函数,由此得通解：,注:也可由降阶法(刘维尔公式)得y3,有一对共轭复根,特征根为,如何得实数解？,由欧拉公式,y1,y2 是齐次线性方程的解，则:,由此得:,也是原方程的解.,由定理1:,也是原方程的解.,综上得特征方程法：,二
3、阶常系数齐次线性方程解法小结,例,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,练 习 题,练习题答案,（四）非齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,难点：如何求特解？,方法：待定系数法（同型化！）.,猜测：,代入原方程,1、指数式乘多项式型:,综上讨论知可设特解：,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程,得,原方程通解为,例1,2、指数式乘三角式型：,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,注:实际计算中,常有:,或,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,例2,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,例3,所求非齐方程特解为,原方程通解为,注意,解,对应齐方通解,用常数变易法求非齐方程通解,原方程通解为,例4,三、小结,(待定系数法),只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解.,思考题,写出微分方程,的待定特解的形式.,思考题解答,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,练 习 题,练习题答案,
