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1、,第六章、随机样本与抽样分布,数理统计的任务:观察现象,收集资料,创建方法,分析推断。,统计推断:研究如何利用一定的数据资料对所关心的问题作出尽可能精确、可靠的结论。特点是:由“部分”推断“整体”。,引言,试验的设计与分析,统计推断,总体:研究对象的全体(整体)。,个体:每一个研究对象。,6.1.1 总体,第6.1节 简单随机样本,样本:由部分个体构成的集合。经常说,来自(或取自)某总体的样本。,样本具有二重性:在抽样前,它是随机向量,在抽样后,它是数值向量(随机向量的取值)。,样本容量:样本中所含个体的个数。,简单随机样本样本,简单随机样本():具有两个特点的样本:代表性(组成样本的每个个体
2、与总体同分布),独立性(组成样本的个体间相互独立)。,如,检验一批灯泡的质量,从中选择100只,则,总体:这批灯泡的质量个体:这批灯泡中的每一只的质量样本:抽取的100只灯泡(简单随机样本)的质量样本容量:100样本检验值:x1,x2,x100,XX1,X2,X100100样本值,定义:设X为一随机变量,X1,X2,Xn是一组独立且与X同分布的随机变量,称X为总体;(X1,X2,Xn)为来自总体X的简单随机样本;n为样本容量;每一个xi(i=1,2,n)称为样本的一个观测值;在依次观测中,样本的具体观测值x1,x2,xn称为样本值.,注意:样本是一组独立同总体分布的随机变量.,样本的分布,统计
3、的一般步骤:,6.2 统计量,1、定义:设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本,是样本的函数,若 中不含任何未知参数,则称 为统计量.,样本均值,2、常用统计量:,样本方差(修正),样本标准差,样本k阶原点矩,样本k阶中心矩,顺序统计量,设X1,X2,Xn的观察值为x1,x2,xn,从小到大排序得到:x(1),x(2),x(n),定义 X(k)=x(k),由此得到的(X(1),X(2),X(n)或它们的函数都称为顺序统计量.显然X(1)X(2)X(n),1)样本中位数,2)样本极差,R=X(n)-X(1),3、较常用的顺序统计量,3）样本分布函数(经验分布函数),格里汶科定理:,设总体X的分
4、布是F(x),则下式成立,第6.3节 抽样分布,统计量的分布称为抽样分布.,6.3.1 样本均值的分布,定理1.设X1,X2,Xn是来自总体 的样本,是样本均值,则有,注:在大样本问题时,由中心极限定理知,注意：1、两个独立的正态分布的随机变量的和仍服从正态分布.,即:若X1N(1,12),X2N(2,22),X1,X2独立,则,X1+X2N(1+2,12+22),正态分布的可加性,2、有限个独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布.,即:若XiN(i,i2),(i=1,2,.n),X1,X2,.Xn相互独立,实数a1,a2,.,an不全为零,则,z,1-,标准正态分布及其100%分位数,定义:
5、设XN(0,1),对任意01,若PX=,则称为标准正态分布的100%分位数,记为,z,例 设XN(0,1),分别为0.95,0.975,0.75,求X关于的100%分位数.,解:=0.95 时,反查表得:,z0.95=1.645,类似可得:,z0.975=1.96,z0.75=0.67,分布及其性质,1.定义:,2.性质:,例 设 是来自总体 的,则 服从()分布。,例 6.3.2 设 是取自总体N(0,4)的s.r.s,当a=,b=时,解:,由题意得,a=1/20b=1/100,3、设 是来自正态总体 X 的求系数a,b,c,使得服从 分布，并求其自由度。,3.的密度曲线,n=1,n=4,n
6、=10,随着n的增大,密度曲线逐渐趋于平缓,对称.,定义:,查表求分位数:,(1)若P(X)=,则,(2)若P(X)=,则,4.分布的100%分位数,解:,查表得:,查表得:,例6.3.2.设 X(10),P(X2)=0.95,求1,2.,6.3.3 t 分布及其性质,1.定义：,特点:关于y轴对称;随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线.,2.t分布的密度曲线:,3.t分布的100%分位数:,例6.3.3 设Xt(15),求=0.975=0.005的分位数;,解:=t0.975(15),查表得,=2.1315,=t0.005(15),查表得,=-2.9467,例4.1.7(
7、974)设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布,而 和 分别是来自总体 X 和 Y 的,则统计量 服从()分布,参数为().,t,9,解:,故,与 独立,所以,6.3.4 F 分布及其性质,1.定义,2.性质:,3.F分布的密度曲线,4.F分布的100%分位数,5.分位数的计算,(1)若P(F)=,当 较大则,(2)若P(F)=(比较小),则,P(1/F1/)=1-,故,例 设F(24,15),分别求满足,(2)=F0.975(24,15),=2.70,(3)P(X)=0.025,比较小,P(1/X1/)=0.025,所以,=0.41,=2.29,解(1)=F0.95(24,15),
8、思考题：,6.3.5 正态总体中其它几个常用的分布,定理 设 是来自总体 的,分别是样本均值和样本方差,则,定理 设 是来自总体 的,分别是样本均值和样本方差,则,其中：,则有,引理：设XN(1,12),Y N(2,22),X,Y相互独立,从中分别抽取容量为n1,n2的样本,样本均值分别记为,求：,例(993)设 是来自正态总体 X 的s.r.s,证明统计量 Zt(2),例(994)设 是来自总体,的s.r.s,是样本均值,记,则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量是(),6.1),6.2),1一枚均匀铜币，最少需抛掷多少次才能保证其正面出现的频率介于0.4和0.6之间的概率不小于90%。试用Chebyshev不等式以及De Moivre-Laplace中心极限定理分别计算同一问题。,250，68,5、某商店负责所在地区1000人的商品供应，某种商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6，假定在这一段时间内个人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销。,643,6两个影院为了1000个顾客而竞争，假设每个顾客去某一个电影院完全是无所谓的，并且不依赖于其他顾客的选择，为了使任何一个顾客由于缺少座位而离去的概率小于1%，每一个电影院应该有多少个座位？,19.1),
