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1、分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1 种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法，在第n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法,分步计数原理（乘法原理）,完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，做第n步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法,分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成,例1:有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分
2、别放入甲乙盒子里，有多少种不同的方法？,元素,从n个不同元素中取出m(m n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.,(1)定义包括两个方面:,一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”,（即与位置有关）,(2)两个排列相同：,元素完全相同;,元素的排列顺序也相同.,排列数：,排列数公式及其推导,同理,第2位,第1位,n,n-1,第3位,n-2,第m位,n-m+1,排列数公式：,(1)第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个因数少1(2)最后一个因数是nm1(3)共有m个因数,观察排列数公式有何特征：,某班要在A、B、C、D四位候选人中,选举两人分别担任正
3、、副班长,共有多少种不同的选法?列出所有可能的选举结果.,所有可能的选举结果,班长,副班长,A,A,B,B,C,C,C,D,D,D,AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC,【练一练】,1.某班要在A、B、C、D四位候选人中,选举两人分别担任正、副班长,共有多少种不同的选法?写出所有可能的选举结果.,【举例】,即,2.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线,需要准备多少种不同的飞机票？,3.求从4个不同的元素中取出3个元素的排列数.,排列数公式:,练习：,当n个不同元素全部取出的一个排列叫做n个不同元素的一个全排列,n!叫做n的阶乘,例1、某年全国足球中超联赛共
4、有12个队参加，每队都要与其它各队在主客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？,解：将参加比赛的12个队看作12个元素，,从12个不同元素中任取2个元素的排列数,例2 某信号共用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示，每次可以任挂l面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？,解：如果把3面旗看成3个元素，则从3个元素中每次取出1个、2个或3个元素的一个排列对应一种信号,于是，用1面旗表示的信号有 种，用2面旗表示的信号有 种，用3面旗表示的信号有,根据分类计数原理，所求信号的种数是,答：一共可以表示15种不同的信号。,注：解排列应用题时，要注意分类计数原理与
5、分步计数原理的运用,例3、（1）有3名大学毕业生，到5个招聘雇员的公司应聘，若每个公司至多招聘一名新雇员，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，共有多少种不同的招聘方案？,解：将5个招聘雇员的公司看作5个不同的元素，3名大学生看作3个位置，,从5个不同元素中任取3个元素的排列数,（2）有5名大学毕业生，到3个招聘雇员的公司应聘，若每个公司只招聘一名新雇员且不允许兼职，先假定这三个公司都完成了招聘工作，共有多少种不同的招聘方案？,解：将5名大学生看作5个不同的元素，3个招聘雇员的公司看作3个位置，,从5个不同元素中任取3个元素的排列数,例4、用0到9这十个数字可以组成多少个没有重复数字的（1
6、）三位数；（2）四位偶数,（1）解一,（2）解二,=998648,例4、用0到9这十个数字可以组成多少个没有重复数字的（2）四位偶数,排列与组合,小结,1.排列数的定义：,从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个元素的排列数.,2.排列数公式,规定0!=1,3 2 1,3、排列问题与元素的位置有关，解排列应用题时应从元素或位置出发去分析，同时注意分类计数原理与分步计数原理的运用,小结,4、解排列应用题的基本思路直接法：即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数；间接法：即先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数。5、常用方法：特殊元素、
7、特殊位置分析法，排除法,例:计算：,观察例1有何发现？,有没有一个一般性的结论呢？,排列数公式(2):,练习:1.下列各式中,不等于n!的是(),2.求证：,C,规定0!=1,【概念复习】,从n个不同元素中取出m(m n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.,1.一个排列:,2.排列数的定义：,从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个元素的排列数.,3.排列数公式,规定0!=1,3 2 1,【概念复习】,【举例】,B,思路:(1)“特殊”元素(位置),优先安排;,4.0,1,2,3,4,5这六个数字可组成:(1)多少个
8、无重复数字的五位数？,【举例】,(2)多少个无重复数字的五位奇数？,(3)多少个无重复数字的五位偶数？,(2)合理分类，准确分步.,(2)甲站在正中间的不同排法有多少种？,(3)甲、乙二人必须站在两端的排法有多少种？,(4)甲、乙二人不能站在两端的排法有多少种?,(5)甲不站排头,也不站排尾,有多少种排法?,(6)甲只能站排头或排尾,有多少种站法?,【作业】,(1)一共有多少种站法？,四名男生和三名女生站成一排,(10)女生互不相邻的排法有多少种？,(11)三名女生顺序一定(如:A左B中C右)的排法 有多少种？,(12)甲与乙、丙二人不相邻的排法有多少种？,四名男生和三名女生站成一排,互不相邻
9、问题,顺序问题,【练一练】,1.用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数？,2.用0到9共10个数字可以组成多少个没有重复数字的:,(2)五位偶数;,(3)大于30000的五位偶数.,(1)五位奇数;,(4)多少个无重复数字且能被五整除的五位数？,(5)多少个无重复数字且大于31250的五位数？,分类:个位数为0:,个位数为5:,分类:,万位数字是4或5:,万位数字是3,千位数字是2或4或5:,万位数字是3,千位数字是1,百位数字4或5:,数字3125:,1个,0,1,2,3,4,5这六个数字可组成:,(6)31250是(1)中从小到大的第几个数?,方法一:(间接法),方法二:
10、(直接法),（1或2）,0,0,（0或4）,(1)女生都排在一起,有几种排法？,(2)男生与女生相间,有几种排法？,(3)任何两个男生都不相邻,有几种排法?,(4)5名男生不都在一起,有几种排法?,5名男生5名女生排成一排,(4)甲、乙二人(均)不能站在两端的排法有多少种?,四名男生和三名女生站成一排,(3)甲、乙二人必须站在两端的排法有多少种？,甲、乙二人都站两端,甲、乙只有一人站边上,所有排法数,(5)男生甲与男生乙中间必须而且只能排2名女生,有几种排法？,(6)男生甲与男生乙中间必须而且只能排2名女生,同时女生又不能排在队伍的两端,有几种排法?,5名男生5名女生排成一排,相邻问题,互不相邻问题,
