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1、,$3-7曲线的凹凸与拐点,2,一、曲线凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,$3-7曲线的凹凸与拐点,3,定义,$3-7曲线的凹凸与拐点,4,二、曲线凹凸的判定,凹,凸,$3-7曲线的凹凸与拐点,5,定理1,（证明需用两次拉格朗日中值定理，并结合凹凸的定义，见教材197页.）,$3-7曲线的凹凸与拐点,6,解,注意到,例1,(concavity and convexity).,$3-7曲线的凹凸与拐点,7,三、曲线的拐点及其求法,注意(1)拐点处的切线必在拐点处穿过曲线;,(2)拐点在曲线上.,(knee),$3-7曲线的
2、凹凸与拐点,8,方法1:,方法2:,2、拐点的求法：,$3-7曲线的凹凸与拐点,9,证,注：,$3-7曲线的凹凸与拐点,10,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,例2(P199),(regions of concavity and convexity),$3-7曲线的凹凸与拐点,11,$3-7曲线的凹凸与拐点,12,方法2:,例3,解,$3-7曲线的凹凸与拐点,13,$3-7曲线的凹凸与拐点,14,例4(P199),解,注意:,$3-7曲线的凹凸与拐点,15,例5（补充）,解,由定义（1，0）是曲线的拐点。,$3-7曲线的凹凸与拐点,16,例6(补充）证明不等式,证,设,则,对,即,又,$3-7
3、曲线的凹凸与拐点,17,例7（P200,习题3-7，3（1）利用凹凸性证明：,证,$3-7曲线的凹凸与拐点,18,四、小结（Brief summary),1、曲线的弯曲方向凹凸性;,2、改变弯曲方向的点拐点;,凹凸性的判定(定理1).,曲线 的凹凸区间及拐点的求法:,(1)求,(3)用上述点划分,(4)写出凹凸区间及拐点.,$3-7曲线的凹凸与拐点,19,思考题,$3-7曲线的凹凸与拐点,20,思考题解答,例,注：若f(x)在某区间内二阶导数存在，除个别点,则曲线在整个区间上仍是凹的（或凸的）。,$3-7曲线的凹凸与拐点,21,练 习 题,$3-7曲线的凹凸与拐点,22,$3-7曲线的凹凸与拐点,23,练习题答案,$3-7曲线的凹凸与拐点,24,第五题图,
