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1、复变函数与积分变换,王飞华中科技大学 数学与统计学院,引言,微积分研究的主要对象是实变函数，即定义域与值域均在实数域中的函数。大家已经学了一些实变函数的微分与积分理论，你还记得哪些内容？,本课程的主要内容，复变函数论，所研究的函数的自变量与因变量均取复数。,复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。,什么是复变函数？,引言,人们在处理与分析一些问题时，常采用某种手段，将问题转化，从另一个角度处理和分析，这就是所谓的变换。,积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。本课程将介绍傅里叶变换和拉普拉斯变换。,信号可以分解成简谐波之和；热也可以按频率分解；信号在时
2、间域和频率域之间的转换等。,如：解析几何中代数方程与几何图形的对应关系；同一问题在直角坐标系与极坐标系的表达等。,复变函数的历史发展,在十六世纪中叶，G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次方程 时引进了复数。他发现这个方程没有实数根，但他把这个方程的两个根形式地表为 与。在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，复数被 Cardano 引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认是没有意义的，不能接受的“虚数”（imaginary number）。,直到十七与十八世纪随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了
3、重要的作用。例如大家所熟知的 Euler 公式 揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到 C.Wessel 和 R.Argand 将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss 与 W.R.Hamilton 定义复数 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。,复变函数的历史发展,Euler 公式,这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数联系到了一起。两个超越数：自然对数的底 e，圆周率，两个单位：虚数单位 i 和自然数的单位 1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造
4、的公式”，我们只能看它而不能理解它。,超越数是不能满足任何整系数代数方程的实数。,复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。,复变函数的历史发展,为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数
5、学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。,复变函数的历史发展,复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。,复变函数的应用,俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。,复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方
6、程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。,学科的产生与发展三要素,动因与出发点内在体系的形成有效地应用,任何学科不能解决自己的出发点，也不能解决自己的归宿与应用，因为二者都属于“外在逻辑”。即使研究“内在逻辑”，也需要多方借助外来的思想、观念与方法。一门学科自始至终，从里到外，都不是孤立的。曹策问,教材与参考书,教材：复变函数与积分变换，华中理工大学数学系，高等教育出版社，1999。复变函数论，钟玉泉，高等教育出版；COMPLEX ANALYSIS，Princeton Lectures in Analysis，Elias M.Stein and Rami Shakarchi，PRINCETON UNIVERSITY PRESS。,公共邮箱:math_ 密码：hust_math,作业，每周三课前交；,练习册，5元，科技楼南楼 609室，第一周星期一（9.5）至星期六（9.10）,以班为单位购买；,答疑安排：第二周开始，每周二晚上7:009:30，地点科技楼南楼813室；,成绩=平时成绩*20%+考试成绩*80%；,基本安排,课堂要求,除了提问或回答问题，请保持安静,积极地提问和回答问题,纠正老师的错误,
