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1、第一章 复数与复变函数,1.1 复数及其运算1.2 复平面上的曲线和区域1.3 复变函数1.4 复变函数的极限和连续性,1.1 复数及其运算,一、复数的概念,1、产生背景,二、复数的表示法,1、(复平面上的)点表示-用坐标平面上的点,r,此时的坐标面（称为复平面）与直角坐标平面的区别与联系。,2、(复平面上的)向量表示-,（1）模 的长度，记为，则,（2）辐角()与 轴正向的夹角(周期性),辐角主值:,3、三角（或极坐标）表示-,欧拉公式,5、代数表示-,复数的各种表示可相互转换在不同的运算中可选择不同表示式进行运算。,三、复数的运算,1、相等两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。,2
2、、和、差、积、商（分母不为0）代数式、三角式、指数式,3、共轭复数及运算性质,z,四、复数的n次方根,答疑解惑,答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而复数是无序的，所以不能比较大小。假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持一致，（因为实数是复数的特例），不妨取0和i加以讨论：,1、复数能否比较大小，为什么？,注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，可比较大小。,2、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的 运算是否相同？,答：有相同之处，但也有不同之处。,加减和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量
3、没有；乘积运算的几何意义不同。,典型例题,例1、判断下列命题是否正确？,（1）（2）（3）,（）,（）,（）,解（1）,（2）,（3）,(4),例3、求满足下列条件的复数z：,（1）,（3）,（2）且,1.2 复平面上的曲线和区域,一、复平面上的曲线方程,二、简单曲线与光滑曲线,三、区域,1、去心邻域,3、区域及分类,2、内点与开集,区域连通的开集。,属于D内的任一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而收缩成一点。,任意一条简单闭曲线 C把复平面分为三个不相交的点集：有界区域称为 C的内部；无界区域，称为 C的外部；C，称为内部与外部的边界。,1.3 复变函数,一、复变函数的概念,1、定义,
4、分类,讨论一个复变函数,研究两个实二元函数,3、复变函数的单值性讨论,教材P12（例1.3.2),是否为单值函数,均为单值的实二元函数,是单值函数吗？,，均为多值的实二元函数,方法二、见教材,二、映射,复变函数的几何图形表示,函数在几何上可以看着是把 z 平面上的一个点集 G（定义域）变到 w 平面上的一个点集 G*（值域）的一个映射（或映照）。,与 G 中的点为一一对应,映射为双射,典 型 例 题,解(1),乘法的模与辐角定理,How complex the expression are!,是以原点为焦点，开口向左的抛物线（见图c1),其是以原点为焦点，开口向右的抛物线（见图c2）。,解法一（1）,消 x,y 建立 u,v 所满足的象曲线方程或由两个实二元函数反解解得 x=x(u,v),y=y(u,v）后，代入原象曲线方程即得象曲线方程,（2）,代入原象曲线方程，得,w平面内的一条直线。,解法二,代入原象方程得,化为实方程形式,（2）留作练习。,1.4 复变函数的极限和连续性,本章难点与重点,注：分析中，习惯把变量之间的对应关系称为函数；几何中，习惯把变量之间的对应关系称为映射；代数中，习惯把变量之间的对应关系称为变换。,在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统一看作是z平面上集合G与w平面上集合G*之间的一种对应。,
