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1、,第九章 多元函数的微分法及其应用,第一节 多元函数的基本概念,一、平面点集 n维空间二、多元函数概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性,一、平面点集 n 维空间,1、平面点集,坐标平面上具有某种性质p的点的集合称为平面点集，记作,坐标平面：,建立了直角坐标系的平面,点,以点P表示(x,y)，|OP|表示点P到原点O的距离，那么,=,平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是,邻域：,去心邻域,平面点集,设,为坐标平面,上的一点，,那么，,点,与,集,之间有怎样的,关系？,只有下面三种关系。,(1)内点:如果存在点P的某个邻域，使得 则称P为E的内点.,(2)外点：如果存在点P的某
2、个邻域，使得，则称P为E的外点.,(3)边界点：如果点P的任一邻域内既含有属于E的点，也含有不属于E的点，则称P为E的边界点.,E的边界点的全体称为E的边界，记为.,例,求,的内点和边界点,聚点：如果对于任意给定的，点P的去心邻域 内总有E中的点，则称P是E的聚点.,点集E的聚点P，可能属于E，也可能不属于E.,例,点,是,的聚点，,但,圆周,上的点都是,的聚点，,也属于,.,说明,开集:如果点集E的每一点都是内点，则称E为开集.,闭集：如果点集E的余集 为开集，则称E为闭集.,为开集,连通集：如果点集E内的任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于E，则称E为连通集.,区域(或开区域
3、)：连通的开集称为区域（或开区域).,是开集，,又是连通集,闭区域：,开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.,有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数r，使得，其中O是坐标原点，则称E为有界集.,无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集.,集合,是有界闭区域,例如，,集合,是无界开区域,例如，,集合,是无界闭区域,例如，,2、n维空间,在解析几何中，我们知道,类似地，,采用这一记号，结合向量的线性运算，得,在n维空间 中定义了距离以后，就可以定义 中变元的极限：,则称变元 在 中趋于固定元，记作,如果,设,在n维空间 中定义了距离以后，就可以类似地定义,中的,邻域的概念.,这
4、样，,内点，外点，边界点，聚点，,区域等概念都可定义.,聚点的性质：,二、多元函数的概念,定义1 设D是 的一个非空子集，称映射 f：为定义在D上的二元函数，通常记为或,点集D称为该函数的定义域，x、y 称为自变量，z 称为因变量。,1、二元函数的定义,与自变量x、y的一对值（即二元数组）(x,y)相对应的因变量z的值，称为 f 在,点(x,y)处的函数值，,记作,即,与一元函数类似，,记号f 与 f(x,y)的意义,但是，习惯上常用记号,来表示D上的二元函数 f.,是不同的，,或,把定义1中的平面点集D换成n维空间 内的点集D，映射 就称为定义在D上的 n元函数，通常记为,也可记为,或简记为
5、,注2,一般地，在讨论用算式表达的多元函数,时，就以使算式,有意义的变元,的值所组成的点集为,这个多元函数的自然定义域。,注1,例1 矩形的面积和它的长x、宽y的关系为：,例2 圆柱体的体积V 和它的底半径R、高h的关系为：,例3,解,在上述函数概念中，关键的两点为:(1)点(x,y)的变化范围，称为定义域；(2)对应法则，即函数关系.,关于函数概念，我们主要研究下面三个问题：(1)求函数的定义域；(2)建立函数关系；(3)求函数值.,注意：二元函数 z=f(x,y)中，自变量在定义域内的取值是独立的，即x的取值与y的取值没有必然的联系.,例4,要使ln(y2x)有意义，,解：,即 y2x,所以，定义域：,须使 y2x 0,例5 求函数,的定义域.,解：,有意义，,须使,2、二元函数的几何意义：,设二元函数z=f(x,y)的定义域为xoy面上的某一区域D，对于D上的每一点P(x,y)，在空间可以作出一点M(x,y,f(x,y)与它对应；,当点P(x,y)在D中变动时，点M(x,y,f(x,y)就在空间作相应地变动，它的轨迹是一个曲面.,例如：,方程 所确定的函数z=f(x,y)的图形是：,一个球心在原点，半径为1的球面.,图形：旋转抛物面,图形：平面,作 业,P62，习题9-1 1，2，4，5（单),
