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1、平面点集和区域,多元函数的极限,多元函数连续的概念,极 限 运 算,多元连续函数的性质,多元函数概念,一、主要内容,全微分的应用,高阶偏导数,隐函数求导法则,复合函数求导法则,全微分形式的不变性,偏导数在经济上的应用,多元函数的极值,全微分概念,偏导数概念,1.区域,（1）邻域,（3）n维空间,（2）区域,连通的开集称为区域或开区域,2.多元函数概念,二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,3.多元函数的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,4.极限的运算,例 证明 不存在,证,取,其
2、值随k的不同而变化，,故极限不存在,确定极限不存在的方法：,5.多元函数的连续性,例 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,6.闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值,（2）最大值和最小值定理,（1）有界性定理,有界闭区域D上的多元连续函数是D上的有界函数,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（3）介值定理,7.偏导数概念及运算,证,原结论成立,8.高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为
3、高阶偏导数.,问题：,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？,.偏导数在经济上的应用:交叉弹性,即,进一步分析其弹性,可知这种变化的灵敏度.,及,交叉弹性的经济意义,解:,10.全微分概念,多元函数连续、可导、可微的关系,11.全微分的应用,主要方面:近似计算与误差估计.,解,由公式得,12.复合函数求导法则,以上公式中的导数 称为全导数.,解,解,13.全微分形式不变性,无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,隐函数的求导公式,14.隐函数的求导法则,解,令,则,解,令,则,15.多元函数的极值,定义,多元函数取得极值的条件,定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.,极值点,注意,驻点,条件极值：对自变量有附加条件的极值,解：,练 习 题,；,
