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1、,二、微分运算法则,第五节,一、微分的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的微分,第二章,一、微分的概念,引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x,面积为 A,则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的微分,定义:若函数,在点 的增量可表示为,(A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理:函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理:函数,证:“必要性”,已知,在点 可微,则,故,在点 的可导,且,在点 可微
2、的充要条件是,在点 处可导,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理:函数,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,基本初等函数的微分公式(见 P115表),又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、微分运算法则,设 u(x),v(x)均可微,则,(C 为常数
3、),分别可微,的微分为,微分形式不变,5.复合函数的微分,则复合函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.设,求,解:利用一阶微分形式不变性,有,例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意 目录 上页 下页 返回 结束,注意:数学中的反问题往往出现多值性.,数学中的反问题往往出现多值性,例如,注意 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2.微分运算法则,微分形式不变性:,(u 是自变量或中间变量),机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.设函数,的图形如下,试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.设,由方程,确定,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P122 1;3(4),(7),(8),(9),(10);4,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,1.已知,求,解：因为,所以,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方程两边求微分,得,已知,求,解：,2.,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,
