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1、欢迎光临,理论力学,第 11 章 动能定理,质系动能定理建立了质点系动能的变化率与作用于质点系上的力所作的功之间的关系，从而揭示了机械运动和其它形式运动能量传递和转化的规律。,本章主要内容,11.1 力的功11.2 质点系和刚体的动能11.3 动能定理,11.1 力的功,1功的概念,力的功表示力在一段路程上对物体作用的累积效应,它包含力和路程两个因素。,W可写成直角坐标形式,因,在一无限小位移中力所做的功称为元功，以W表示。,力在有限路程上的功为力在此路程上元功的定积分。,或,功的单位为焦耳(J),1J=1Nm=1kg m/s。,合力的功：设作用于质点的合力 FR=Fi,则合力的功,即作用于质
2、点的合力在某一段路程上所作的功等于各分力在同一段路程上所作功的代数和。,2常见力的功,（1）重力的功,重力在直角坐标轴上的投影为,重力的功为,重力的功仅与质点运动起止位置的高度差有关，而与运动轨迹无关。,对于质点系，所有质点重力做功之和为,由质心坐标公式，有,由此可得,即质点系重力的功等于质点系的总重量与其重心高度差之乘积,重心降低为正,重心升高为负。,重力的功与路径无关,仅取决于重心的始末位置。,（2）弹性力的功,设弹簧刚性系数为k，弹簧变形为,则弹力为,弹性力的功为,弹性力在有限路程上的功只决定于弹簧在起始及终了位置的变形量，而与质点的运动路径无关。,（3）定轴转动刚体上作用力的功,作用于
3、定轴转动刚体上的力系的元功为,而,于是,力系在有限转动中的功为,（4）平面运动刚体上力系的功,其中FR 为力系的主矢量，MC为力系对质心C的主矩。,3质点系内力的功,因,所以,上式说明，当质系内质点间的距离可变化时，内力的元功之和不为零。,如两质点之间的距离不变，例如刚体上或刚性杆联结的两点，则内力的元功之和为零，因此刚体内力的功之和恒等于零。,4理想约束,约束力的元功之和等于零的约束称为理想约束，即W=0。常见的理想约束有:,（1）光滑固定面和辊轴约束,其约束力垂直于作用点的位移，约束力不做功。,（2）光滑铰链或轴承约束,由于约束力的方向恒与位移的方向垂直，所以约束力的功为零。,（3）刚性连
4、接的约束,这种约束和刚体的内力一样，其元功之和恒等于零。如图所示。,（4）联结两个刚体的铰,如图所示，两个刚体相互间的约束力，大小相等、方向相反，即 F=F，两力在点的微小位移上的元功之和等于零，即,（5）柔性而不可伸长的绳索约束,如图示，绳索两端的约束力大小相等，即,又因,因此不可伸长的绳索的约束力元功之和等于零，即,质系内力的功之和一般不为零，因此在计算力的功时，将作用力分为外力和内力并不方便，在理想约束的情形下，若将作用力分为主动力与约束力，可使功的计算得到简化。若约束是非理想的，如需考虑摩擦力的功，在此情形下可将摩擦力当作主动力看待。,例1 用跨过滑轮的绳子牵引质量为2kg的滑块A沿倾
5、角为30的光滑槽运动。设绳子拉力F=20N。计算滑块由位置A至位置B时，重力与拉力F所作的总功。,解：滑块由位置A至位置B所上升的 高度为,力F作用点移动的距离为,所以，重力与拉力F所作的总功,C,11.2 质点系和刚体的动能,1.质点系的动能,设质点系由n个质点组成，任一质点Mi 在某瞬时的动能为,质点系内所有质点在某瞬时动能的算术和称为该瞬时质点系的动能，即,动能是描述质点系运动强度的一个物理量。动能的单位与功的单位相同。,2平动刚体的动能,当刚体平动时，刚体上各点速度相同，于是平动刚体的动能为,3定轴转动刚体的动能,当刚体绕固定轴转动时，如图示，其上任一点的速度为,于是绕定轴转动刚体的动
6、能为,为刚体对z轴的转动惯量，所以得,4平面运动刚体的动能,根据转动惯量的平行轴定理有,代入上式得,而,，因此,上式表明，平面运动刚体的动能等于跟随质心平动的动能与绕通过质心的转轴转动的动能之和。,(a):,(b):,(c):,O,A,(e),例2 均质杆AB靠在光滑墙面上，已知杆的质量为m，杆长l。图示瞬时B点的速度为vB，=60。设地面光滑。求此时杆的动能。,A,B,vB,解：杆AB作平面运动，点D是速度瞬心，质心速度,vA,D,vC,C,动能也可用下法求得,例3.质量为m的均质杆与相同质量的均质小球固结,以角速度绕轴O转动,如图示。已知杆长为l,小球半径为r,求组合体的动能(小球对直径轴
7、的转动惯量为2mr2/5)。,例4.己知长l的杆和半径为r的均质圆盘质量均为m,均质圆盘沿水平面纯滚,质心速度为u，试求图示位置时系统的动能。,O,2u,例5.己知m、u,=45,杆重不计,均质圆盘沿斜面纯滚,试求系统的动能。,u,u,C,课后作业：,11.2、11.5、11.6、11.7,11.3 动能定理,1质点动能定理,牛顿第二定律给出,两边点乘 d r,上式称为质点动能定理的微分形式，即质点动能的微小变化等于作用于质点上的力的元功。,或,从质点运动的位置1到位置2积分上式得,上式为质点动能定理的积分形式，即在任一路程中质点动能的变化，等于作用在质点上的力在同一路程上所作的功。,或,其中
8、,2质点系动能定理,对于质点系中任一质点有,n个方程相加，则得,或,上式为质点系动能定理的微分形式,即质系动能的微小变化，等于作用于质系上所有外力和内力的元功之和。,从质点系运动的位置1到位置2积分上式得,上式为质点系动能定理的积分形式,即在任一路程中，质点系动能的变化，等于作用在质点系上的所有外力和内力在同一路程中所作功之和。,动能定理也可表达为,质点系的动能定理在应用中的注意事项:,方程的右边为代数和,求和时应注意符号;方程的右边应包含作用于系统的所有力的功,既包括外力的功,也包括内力的功;注意微分形式与积分形式的区别:对于微分形式,应首先求出任意位置系统动能的一般表达式,然后再微分求出d
9、T;对于积分形式必须首先明确系统的始末位置,然后再分别求出始末位置的系统动能T1和T2。,例1、质量为m的物块，自高度h处自由落下，落到有弹簧支承的板上，如图所示。弹簧的刚性系数为k，不计弹簧和板的质量。求弹簧的最大变形。,解：物块落在板上后继续向下运动，当速度等于零时，弹簧被压缩到最大变形。应用动能定理，有,解得,由于弹簧的变形量是正值，因此取正号，即,例2、链条长l，质量m，展开放在光滑的桌面上，如图所示。开始时链条静止，并有长度为a的一段下垂。求链条离开桌面时的速度。,解：将链条分为两段考虑，下垂段重力作功为,桌面段重力作功为,由动能定理得,解得,例3、两均质杆AC和BC的质量均为m，长
10、均为l，在点C由铰链相连接，放在光滑水平面上，如图所示。由于A和B端的滑动，杆系在其铅直面内落下。点C的初始高度为h。开始时杆系静止，求铰链C与地面相碰时的速度v。,解：取杆AC，当铰链 C 与地面相碰时，速度瞬心 D 与 A 重合。根据对称性，由动能定理得,解得,例4、均质连杆AB质量为4kg，长l=600mm。均质圆盘质量为6kg，半径r=100mm。弹簧刚度为2N/mm，不计套筒A及弹簧的质量。如连杆在图示位置被无初速释放后，A端沿光滑杆滑下，圆盘作纯滚动。求：（1）当AB达水平位置而接触弹簧时，圆盘与连杆的角速度；（2）弹簧的最大压缩量。,解：（1）AB达水平位置时vB=0，所以,由动
11、能定理有,解得,（2）从杆被释放到停止，应用动能定理有,解得,vA,vB,C,例5、均质圆盘，质量为m，半径为R，弹簧刚度为k，原长为R。圆盘由图示位置无初速释放，求圆盘在最低位置时的角速度。,解：圆盘作定轴转动，由动能定理,所以,（设k足够小，满足 0）,例6、卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶矩M作用下将圆柱体沿斜面上拉。已知鼓轮的半径为R1,质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱体的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜面的倾角为，圆柱体沿斜面只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱体上升路程为s 时，其中心C的速度及加速度。,解：取整个系统为研究对象，主动力的功为,设圆柱体中心的速度为vC，则系
12、统的动能,式中,，,代入后得,应用动能定理,得,(1),所以，得,式(1)两边求导,解得,点评:(1)应用动能定理的积分形式求解单自由度系统的速度(或角速度)问题十分方便;(2)当末位置的速度(或角速度)是任意位置的函数时,则可求时间导数来得到加速度(或角加速度)。,例6、卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶矩M作用下将圆柱体沿斜面上拉。已知鼓轮的半径为R1,质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱体的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜面的倾角为，圆柱体沿斜面只滚不滑。求圆柱体中心C的加速度。,解：取整个系统为研究对象，主动力的元功为,设任意时刻圆柱体中心的速度为vC，则系统的动能为,式中,，,代入
13、后得,应用动能定理,得,上式两边同除以dt,解得,例7、均质杆AB长l，质量为m。质量为M的重块B在常力F作用下，由图示静止位置开始运动。求AB杆运动到铅垂位置时重块B的速度vB。不计摩擦及A块重量。,解：取AB杆与重块B组成的系统。,AB杆在铅垂位置的运动分析如下图示。,系统具有理想约束，主动力的功为,根据动能定理,所以,例8、如图示，滚轮重P3，半径为 r2，对质心的回转半径为C，半径为r1 的轴颈沿AB作无滑动滚动。滑轮重P2，半径为 r，回转半径为，重块重P1。求重块的加速度。,解：设任意时刻重块的速度为v,滑轮的角速度为，滚轮质心C点速度为vC。则,系统在任意位置的动能,令,称为当量
14、质量或折合质量，则,所以重块的加速度,由动能定理的微分形式,两边同除以时间dt,设任意时刻重块的位移为s，系统初始动能为T0，由动能定理,两边对时间求导数,例9、均质细杆重Q、长为l，上端靠在光滑的墙上，下端A以铰链和一均质圆柱的中心相连。圆柱重P、半径为R，放在粗糙的地面上，从图示位置（=45）由静止开始作纯滚动。求A 点在初瞬时的加速度。,解：取系统为研究对象。则任意瞬时系统动能为,其中,所以,由于系统为理想约束，只有重力作功，所以元功为,由动能定理的微分形式,得,因,所以,解得,令=45，vA=0，得,两边同除以时间dt，因,课后作业：,11.12、11.14、11.16、11.19、11.21,
