差分方程-数学建模.ppt

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1、数学建模-差分方程建模分析 讲授人：高承华 时 间：地 点：10号楼A116教室,1、什么是数学模型？,数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。,2、什么是数学建模?,数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立

2、起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。,观点：“所谓高科技就是一种数学技术”,数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划该实际问题，这种刻划的数学表述的就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程。数学模型一经提出，就要用一定的技术手段（计算、证明等）来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展，掀起一个高潮。数学建模将各种知识综合应用于解决实际题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。,在实际过程中用那一种方

3、法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。机理分析法建模的具体步骤大致可见右图。,建模过程示意图,模型 数学模型的分类：按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等。按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。,三、数学模型及其分类,正是由于认识到培养应用型、研究型科技人才的重要性，而传统的数学竞赛不能担当这个任务，从1983年起，美国就有一些有识之士探讨组织一项应用数学方面的竞赛的可能性。经过论证、争论、

4、争取资金等过程，1985年举行了美国第一届大学生数学建模竞赛。简称MCM竞赛由美国工业与用数学学会和美国运筹学学会联合主办。,从1985年起每年举行一届，时间定为每年的二月下旬或三月初的星期五到星期日举行。,这项竞赛的宗旨是鼓励学生运用所学的知识（数学及其各门科学的知识）去参与解决实际问题的全过程。这些实际问题并不限于某个固定领域，可以涉及非常广泛的、并不固定的范围和领域。,美国的MCM虽然只是美国的国内 赛，但它欢迎其他国家的大学组队参加，而且越来越多国家的大学参加这一竞赛，因此，在某种意义上它已经是国际比赛。我国最早由北京三所大学组队参加美国的MCM竞赛，继后我国参加此项比赛的大学越来越多

5、。,内容,赛题：工程、管理中经过简化的实际问题,答卷：一篇包含问题分析、模型假设、建立、求解(通常用计算机)、结果分析和检验等的论文,形式,3名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛,可使用任何“死”材料(图书/互联网/软件等),但不得与队外任何人讨论（包括上网讨论）,宗旨,创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争,标准,假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性。,数学建模竞赛内容与形式,我国大学生数学建模竞赛（CUMCM）,1992年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织,1994年起教育部高教司和CSIAM共同举办(每年9月),2008年有31省(市、区）的1022所学校12

6、836队参加,网址：http:/,奖励：全国一等奖（约2%）、全国二等奖（约7%）教育部高教司和CSIAM共同签章,1999年起竞赛分为甲组(本科)、乙组(高职高专组),优秀论文刊登于次年工程数学学报（2000年前为数学的实践与认识）,2009 年全国有33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)1137所院校、15046个队（其中甲组12276队、乙组2770队）、4万5千多名来自各个专业的大学生参加竞赛(其中西藏和澳门是首次参赛)！,怎样撰写数学建模的论文？,1、摘要:问题、模型、方法、结果,2、问题重述,4、分析与建立模型,5、模型求解,6、模型检验,7、模型推广,8、参考文献,9、附录,

7、实例,3、模型假设,返回,实例参考解答,差分方程建模,处理动态的离散型的问题,处理对象虽然涉及的变量(如时间)是连续的，但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更为合适，将连续变量作离散化处理，从而将连续模型(微分方程)化为离散型(差分方程)问题,第一讲 差分方程基础知识,设,一阶差分：,注：差分是导数的一种推广,高阶差分：,第一讲 差分方程基础知识,性质1(可加性)：,微分的性质与运算：,性质2(齐次性)：,性质3(线性性)：,性质3(线性性)：,性质4(乘积)：,性质4(除法运算)：,第一讲 差分方程基础知识,性质1(可加性)：,差分的性质与运算：,性质2(齐次性)：,性质3(线性性)：,性

8、质3(线性性)：,性质4(乘积)：,性质4(除法运算)：,注：注意它与微分性质的比较,第一讲 差分方程基础知识,差分的性质与运算：,第一讲 差分方程基础知识,差分方程及其解：,定义2：包含未知函数及差分的方程式称为差分方程,注：差分方程的实质就是递推公式,线性差分方程：,差分方程的解：,常微分方程化为差分方程,用导数近似式替代导数或者说用适当近似式替代含有导数的表达式，可以得到这些近似值满足的代数方程-差分方程,以二阶常微分方程边值问题为例,目的求,差分法,一般k阶常系数线性差分方程为,差分方程边值问题,二 偏微分方程化为差分方程,以二阶椭圆方程的边值问题为例,用两族平行坐标轴的直线,正方形网

9、格把区域G剖分,节点可分三类,1通过该节点的网格线上的相邻四网点都在G内,记 G1,2在G内部但不属于G1，记G2,3恰在边界上记G3,确定各节点处解的近似值uij，需要建立代数方程，每一节点建立一个代数方程,任务,偏导数近似式替代,差分方程,偏导数近似式替代,和分(反差分),周期函数：如果,和分：若,则,称为,的和分（反差分），记为,或者,积分中的N-L公式,和分中的N-L公式,定理：若,在,上有定义，并且,，则,练习：计算,四 二阶常系数齐次差分方程求法,齐次差分方程,(1)特征方程有两个不相等实根,(2)特征方程有两个相等实根,例：求解差分方程,例：求解差分方程初值问题,解：特征方程为,

10、从而特征根为,所以差分方程的解为,则,为一对复值解.令,例：求解差分方程,(1)f(x)=b0+b1x+bmxm,根据非齐次差分方程 yx+2+ayx+1+byx=f(x)的函数 f(x)的形式,用待定系数法可求出一个特解.,设特解的待定式为,其中B0,B1,Bm为待定系数.,例 求差分方程 yx+2+yx+1 2yx=12x的通解.,解 对应的齐次方程的特征方程为,方程的根为 1=2,2=1,2+2=0.,齐次方程的通解为,因为 a=1,b=2,1+a+b=0,但 a+2=3 0,所以,设非齐次方程的一个特解为,代入原方程,得,整理,得,B0+B1(x+2)(x+2)+B0+B1(x+1)(

11、x+1)(B0+B1x)x=12x.,比较系数,得,6B1=12,3B0+5B1=0,解出,故所求通解为,6B1x+3B0+5B1=12x.,(2)f(x)=Cqx,设特解的待定式为,其中 B 为待定系数.,(q不是特征根);,(q是特征方程单根);,(q是二重特征根).,例 求差分方程 yx+2 3yx+1+2yx=2x的一个特解.,解 对应的齐次方程的特征方程为,方程的根为 1=1,2=2,2 3+2=0.,因为 q=2=2,设特解为,代入原方程,得,B(x+2)2x+23B(x+1)2x+1+2Bx2x=2x,所求特解为,三、一阶常系数线性差分方程,一阶常系数线性差分方程的一般形式为,y

12、x+1 ayx=f(x).(3),其中 a 为不等于零的常数.,称为齐次差分方程;当 f(x)0时,称为非齐次差分方程.,当 f(x)=0 时,即,yx+1 ayx=0(4),先求齐次差分方程 yx+1 ayx=0的解,设 y0 已知,代入方程可知,y1=ay0,y2=a2y0,yx=axy0,令y0=C,则得齐次差分方程的通解为,yx=Cax.(5),例4 求差分方程 yx+1+2yx=0的通解.,解 这里 a=2,由公式(5)得,通解为,yx=C(2)x.,定理 设 y0*是非齐次差分方程(3)对应的齐次差分方程(4)的通解,再讨论非齐次差分方程 yx+1 ayx=f(x)解的结构,是(3

13、)的一个特解,则,程(3)的通解.,是方,下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.,(1)令f(x)=b0+b1x+bmxm,设特解的待定式为,或,(6),(7),其中B0,B1,Bm为待定系数.,例5 求差分方程 yx+1 2yx=3x2 的一个特解.,解 这里 a=2,设,代入差分方程,得,B0+B1(x+1)+B2(x+1)2 2(B0+B1x+B2x2)=3x2.,整理,得,(B0+B1+B2)+(B1+2B2)xB2x2=3x2.,比较系数,得,B0+B1+B2=0,B1+2B2=0,B2=3.,解出 B0=9,B1=6,B2=3,故所求特解为,例6 求差分方程 yx+1 yx=x+

14、1 的通解.,解 对应的齐次方程 yx+1 yx=0的通解为,这里 a=1,设,(x+1)B0+B1(x+1)x(B0+B1x)=x+1.,整理,得,2B1 x+B0+B1=x+1.,比较系数,得,2B1=1,B0+B1=1,解出,故所求通解为,代入差分方程,得,(2)f(x)=Cbx,设特解的待定式为,或,(8),(9),其中 k 为待定系数.,例7 求差分方程 的通解.,解 对应的齐次方程,的通解为,因为,故可设特解为,则,解出,则所求通解为,非齐次差分方程,非齐次方程的通解=非齐次的特解+齐次的通解,解法：,1.待定系数法,2.常数变易法,例：兔子问题,在一年的时间里，一对兔子能够生育出

15、多少对兔子？,每对兔子每个月生育出新的一对兔子,假设,新的一对兔子在一个月之后具有生育能力其次这些兔子都不死亡,第n个月开始时兔子对数,模型,结果,Fibonacci数列,黄金分割比,市场经济中的蛛网模型,问 题,供大于求,现象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,描述商品数量与价格的变化规律,数量与价格在振荡,蛛 网 模 型,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,消费者的需求关系,生产者的供应关系,减函数,增函数,f与g的交点P0(x0,y0)平衡点,一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0,设

16、x1偏离x0,x1,P0是稳定平衡点,P0是不稳定平衡点,曲线斜率,蛛 网 模 型,在P0点附近用直线近似曲线,P0稳定,P0不稳定,方 程 模 型,方程模型与蛛网模型的一致,商品数量减少1单位,价格上涨幅度,价格上涨1单位,(下时段)供应的增量,考察,的含义,消费者对需求的敏感程度,生产者对价格的敏感程度,小,有利于经济稳定,小,有利于经济稳定,结果解释,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,结果解释,经济不稳定时政府的干预办法,1.使 尽量小，如=0,以行政手段控制价格不变,2.使 尽量小，如=0,靠经济实力控制数量不变,结果解释,模型的推广,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下

17、一时段的产量。,生产者管理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,二阶线性常系数差分方程,x0为平衡点,研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件,方程通解,(c1,c2由初始条件确定),1,2特征根，即方程 的根,平衡点稳定，即k,xkx0的条件:,平衡点稳定条件,比原来的条件 放宽了,模型的推广,银行复利问题,背景,所付利息一年内复合n次，即把一年分n个相等的时间段，而所付利息为每一时间段的未尾.,给出一个可以预测在任意给定时间的帐目余额,分析,帐目余额与时间直接相关，而时间是离散的,本期结束时的总存款等于前一时期余下的本利，及本利得到的利息与第本期内新存入的存款之和,任何时候都可以存款,模型假设

18、,1.储蓄的年利率为 r,2.任何时候都可以存款，但存款利息只从下一时期开始计算，如时间段开始第一天的存款即开始计算利息,t期结束时的总存款,记号,第t期内的新存款,模 型,注：上式中n=2时，相应于半年的复利，而n=365则是相应于逐日计算的复利,抵押贷款买房问题,背景,每户人家都希望有一套属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下。这就产生了贷款买房问题。某新婚夫妇急需一套属于自己的住房。他们看到一则理想的房产广告：“名流花园之高尚住宅公寓，供工薪阶层选择。一次性付款优惠价40.2万元。若不能一次性付款也没关系，只付首期款为15万元，其余每月1977.04元等额偿还，15年还清。(公积金贷

19、款月利息为3.675）。,问题,公寓原来价多少？每月等额付款如何算出来？,假设,贷款期限内利率不变,银行利息按复利计算,记号,A（元）：贷款额（本金）,n（月）：货款期限,r：月利率,B(元):月均还款额,Ck：第k个月还款后的欠款,模型,求解,代入n=180、r=0.003675、B=1977.04,结果：A=260000（元）,一次性优惠价9.8折,还款总额 利息负担总额,减肥计划节食与运动,背景,多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持,通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标,分析,体重变化由体内能量守恒破坏引起,饮食（吸收热量）引起体重增加,代谢和运

20、动（消耗热量）引起体重减少,体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.525 超重;BMI30 肥胖.,模型假设,1）体重增加正比于吸收的热量每8000千卡增加体重1千克；,2）代谢引起的体重减少正比于体重 每周每公斤体重消耗200千卡 320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡；,3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；,4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。,某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。,第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减

21、少，直至达到下限（10000千卡）；,第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标,2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。,1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。,减肥计划,3）给出达到目标后维持体重的方案。,确定某甲的代谢消耗系数,即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡,基本模型,w(k)第k周(末)体重,c(k)第k周吸收热量,代谢消耗系数(因人而异),1）不运动情况的两阶段减肥计划,每周吸收20000千卡 w=100千克不变,第一阶段:w(k)每周减1千克,c(k)减至下限10000千卡,第一阶段10周,每周减1千克，第10周末体重90千克,吸收热量为,1）不运

22、动情况的两阶段减肥计划,第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克,1）不运动情况的两阶段减肥计划,基本模型,第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克,第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按 减少至75千克。,运动 t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。,2）第二阶段增加运动的减肥计划,t每周运动时间(小时),3）达到目标体重75千克后维持不变的方案,每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变,不运动,运动(内容同前),Malthus 模型,设xn是某人类群体在第n个时间段(例如年)末时的总数，若在单位时间段内人口相对增长率为r（出生

23、率与死亡率之差）,那么人口增长数与原人口数成正比,从而,xn+1 xn r xn,即 xn+1=a xn,其中 a=r+1.,差分形式的人口增长模型,这是一个如下线性映射的迭代 f(x)=a x,从而 xn=a xn1=a2xn2=an x0,Malthus的结论：人口增长呈几何级数,约35年增加一倍，与17001961年世界人口统计结果一致,与近年统计结果有误差，由a 1,xn趋向无穷，模型在人口长期预测方面必定是失效的.,差分形式的人口增长模型,离散形式的阻滞增长模型,连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型),t,xN,x=N是稳定平衡点(与r大小无关),离散形式,x(t)某种群 t

24、 时刻的数量(人口),yk 某种群第k代的数量(人口),若yk=N,则yk+1,yk+2,=N,讨论平衡点的稳定性，即k,ykN？,y*=N 是平衡点,离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性,一阶(非线性)差分方程,(1)的平衡点y*=N,讨论 x*的稳定性,变量代换,(1)的平衡点 x*代数方程 x=f(x)的根,稳定性判断,(1)的近似线性方程,x*也是(2)的平衡点,x*是(2)和(1)的稳定平衡点,x*是(2)和(1)的不稳定平衡点,补充知识,的平衡点及其稳定性,平衡点,稳定性,另一平衡点为 x=0,不稳定,的平衡点及其稳定性,初值 x0=0.2,数值计算结果,b 3,x,b=3.3,

25、x两个极限点,b=3.45,x4个极限点,b=3.55,x8个极限点,倍周期收敛,的稳定性,倍周期收敛的进一步讨论,出现4个收敛子序列 x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3,平衡点及其稳定性需研究,时有4个稳定平衡点,2n倍周期收敛,n=1,2,bn 2n倍周期收敛的上界,b0=3,b1=3.449,b2=3.544,n,bn3.57,b3.57,不存在任何收敛子序列,的收敛、分岔及混沌现象,b,2浑沌与遍历性,当c*a4时，Logistic映射进入浑沌区域.反映出的是：,遍历性：点 x0的轨道不趋向任何稳定的周期轨道,它的轨道在(0,1)(或其中某些区间)内的任何一个子区间(a,b)内

26、都会出现无数次.这是浑沌的,敏感性：轨道表现出对初始条件的强烈敏感性,即不同初始值，即使它们离得非常近，它们的轨道也终将以某种方式分离.,存在周期小窗口 浑沌区域内某些地方仍有倍周期分叉，例如a3.835附近,Feigenbaum常数 比值(ck-ck-1)/(ck+1-ck)在k 趋于无穷时，趋于常数 q=4.6692016这常数的意义在于普适性，例如周期3窗口也适用，还适用其他映射,任务：验证遍历性、敏感性 周期3窗口的分叉、(结合Feigenbaum常数),五.图象方法,蛛网迭代,在以xn为横坐标、xn+1为纵坐标的第一象限作抛物线弧：xn+1a xn(1-xn),作图的过程,任取(0,

27、1)中的点x0,可以通过作图来取得迭代的数值序列xn,从而也通过图象直观地看出由 x0出发的轨道的变化.这作图的过程颇象蜘蛛织网,故称为蛛网迭代.,1a3 从(0,1)中任何初值出发的轨道趋向不动点(周期1点),3a61/2+1 从任何初值出发的轨道趋向周期2点,61/2+1a 3.54409035从任何初值出发的轨道趋向周期4点,a=3.58轨道进入浑沌状态,a=4 轨道的浑沌性表现充分,2007年全国大学生数学建模A题,中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特

28、点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的国家人口发展战略研究报告(附录1)还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。附录1 国家人口发展战略研究报告附录2人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）及其说明,人口预测是国

29、家工作中的重点，关系着国家的发展方向和命运。我国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对我国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来我国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着我国人口的增长。2007年初发布的国家人口发展战略研究报告对此做出了进一步的分析。从我国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考相关数据，建立我国人口增长的数学模型，并由此对我国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别注意指出模型中的优点与不足之处。,1.问题重述,2.问题分析,一个社会（国家、

30、省市、地区）人口的变化和随时间的发展过程，是由很多因素决定的，社会制度、自然环境、生活水平、科学文化水平、战争、自然灾害和移民等等，都能严重地影响社会人口的发展过程。然而，婴儿的出生、人口的死亡、居民的迁移却是决定该社会人口变化的直接原因，近年来我国人口发展出现的一些新特点，如老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，都直接或间接地通过这三个现象表现出来。综合考虑这些因素成为构建符合我国国情的人口增长模型关键。建立模型对人口发展过程进行定量预测，就是根据现有的人口统计资料和原始数据，从当前实际的人口状况出发，并对未来的人口发展过程，提出合理的控制要求和假定，应用科学的方

31、法，预测出未来几年、几十年甚至上百年的人口发展趋势，包括人口总数、人口的性别、年龄和城乡结构，人口出生、死亡和自然增长率的变化以及在未来的人口构成中劳力和抚养水平及老化水平等。,3.模型假设,针对本问题，建立如下合理的假设：题中所给数据能反映我国人口变化的基本情况；一些重大事件，如战争、自然灾害等对人口预测的影响暂不考虑；所给数据都是年末数据，也即下一年年初数据，如2001年总人口实质上也表示2002年初的总人口；今年所统计的i岁的人口在下一年年初均为 i+1岁；生育模式不随时间变化。,4.符号说明,5.模型建立与求解,5.1.数据预处理 题中所给 5 年我国人口 1%调查数据是对人口的抽样调

32、查数据，由于数据的不完备性，并不能由它来估计当时的全国总人口数。但基于抽样调查的等概率性，可以认为它所反应的市、镇、乡三个地区的人口比例及男女比例是与实际较为接近的。从中国人口统计年鉴20061,可以得到20012005 年具体的全国总人口数。进而可以得到各部分人口数。所得数据见表1。例：,5.2.模型一：基于人口迁移的 Logistic阻滞增长模型,5.3.模型二：离散人口发展方程模型,倍周期收敛x*不稳定情况的进一步讨论,单周期不收敛,2倍周期收敛,(*)的平衡点,x*不稳定，研究x1*,x2*的稳定性,连续形式的人口增长模型,马尔萨斯（Malthus）在分析人口出生与死亡情况的资料后发现

33、，人口净增长率r基本上是一常数，（r=b-d,b为出生率，d为死亡率），即：,马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。,Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。,所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。,模型2 Logistic模型,人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(N),r(N)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求。,为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建

34、立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。,r(N)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）,(3.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，（3.9）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（3.9）也被称为统计筹算律的原因。,图3-5,对（

35、3.9）分离变量：,两边积分并整理得：,令N(0)=N0，求得：,N(t)的图形请看图3.5,大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲线：几乎完全吻合，见图3.6。,图3-6,Malthus模型和Logistic模型的总结,Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（3.7）所作的模拟近似方程。前一模型假设了

36、种群增长率r为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。,用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。,Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两个较为有趣的实例。,例5 赝品的鉴定,在第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出

37、卖过艺术品的公司中发现线索，于1945年5月29日以通敌罪逮捕了三流画家范梅格伦（HAVanmeegren），此人曾将17世纪荷兰名画家扬弗米尔（Jan Veermeer）的油画“捉奸”等卖给纳粹德国戈林的中间人。可是，范梅格伦在同年7月12日在牢里宣称：他从未把“捉奸”卖给戈林，而且他还说，这一幅画和众所周知的油画“在埃牟斯的门徒”以及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡斯（17世纪荷兰画家）的油画，都是他自己的作品，这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个伪造者，他在监狱里开始伪造弗米尔的油画“耶稣在门徒们中间”，当这项工作接近完成时，范梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造罪，因此他拒绝将

38、这幅画变陈，以免留下罪证。,为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史学家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用X射线检验画布上是否曾经有过别的画。此外，他们分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有历经岁月的迹象。科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕迹，还在几幅画中检验出了20世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证据，范梅格伦于1947年10月12日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于1947年12月30日死去。,然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在埃牟斯的门徒”是范梅格伦伪造的。事实上，在此之前这

39、幅画已经被文物鉴定家认定为真迹，并以17万美元的高价被伦布兰特学会买下。专家小组对于怀疑者的回答是：由于范梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制“在埃牟斯的门徒”，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后，他的志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒”多么容易卖掉以后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了。这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学地、确定地证明“在埃牟斯的门徒”的确是一个伪造品。这一问题一直拖了20年，直到1967年，才被卡内基梅伦（Carnegie-Mellon）大学的科学家们 基本上解决。,原理与模型,测定油画和其他岩石类材料的年龄的关键是本世纪

40、初发现的放射性现象。,放射性现象：著名物理学家卢瑟夫在本世纪初发现，某些“放射性”元素的原子是不稳定的，并且在已知的一段时间内，有一定比例的原子自然蜕变而形成新元素的原子，且物质的放射性与所存在的物质的原子数成正比。,用N(t)表示时间t时存在的原子数,则：,用来计算半衰期T:,其解为:,与本问题相关的其他知识:,(1)艺术家们应用白铅作为颜料之一，已达两千年以上。白铅中含有微量的放射铅210，白铅是从铅矿中提炼出来的，而铅又属于铀系.,(2)地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀。一方面，铀系中的各种放射性物质均在不断衰减，而另一方面，铀又不断地衰减，补充着其后继元素。从而，各种放射性物质（除

41、铀以外）在岩石中处于放射性平衡中。根据世界各地抽样测量的资料，地壳中的铀在铀系中所占平均重量比约为百万分之2.7（一般含量极微）。各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现含量高于23%的。,(3)从铅矿中提炼铅时，铅210与铅206一起被作为铅留下，而其余物质则有9095%被留在矿渣里，因而打破了原有的放射性平衡。,简化假定：,本问题建模是为了鉴定几幅不超过300年的古画，为了使模型尽可能简单，可作如下假设：,(1)由于镭的半衰期为1600年，经过300年左右，应用微分方程方法不难计算出白铅中的镭至少还有原量的90%，故可以假定，每克白铅中的镭在每分钟里的分解数是一个常数。,建模：,(1)

42、记提炼白铅的时刻为t=0，当时每克白铅中铅210的分子数为y0，由于提炼前岩石中的铀系是处于放射性平衡的，故铀与铅的单位时间分解数相同。由此容易推算出每克白铅中铅210每分钟分解数不能大于30000个，否则铀的含量将超过4%，而这是不可能的。因为：,以上确定了每克白铅中铅分解数的上界，若画上的铅分解数大于该值，说明画是赝品；但若是小于不能断定画一定是真品。,(2)设t时刻1克白铅中铅210含量为y(t)，而镭的单位时间分解数为r（常数），则y(t)满足微分方程：,由此解得：,故：,若此画是真品，t-t0300（年）。画中每克白铅所含铅210目前的分解数y(t)及目前镭的分解数r均可用仪器测出，

43、从而可求出y0的近似值，并利用（1）判断这样的分解数是否合理。若判断结果为不合理，则可以确定此画必是赝品，但反之不一定说明画是真品（因为估计仍是十分保守的且只能证明画的“年龄”）。,Carnegie-Mellon大学的科学家们利用上述模型对部分有疑问的油画作了鉴定，测得数据如下（见表3-1）。,例6 新产品的推广,经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速度问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此析出一些有用的结果以指导生产呢？以下是第二次世界大战后日本家电业界建立的电饭包销售模型。,记比例系数为k，则x(t)满足：,此方程即Logistic模型，解为：,对x(t)求一阶、两阶导数：,设需求

44、量有一个上界，并记此上界为K，记t时刻已销售出的电饭包数量为x(t)，则尚未使用的人数大致为Kx(t)，于是由统计筹算律：,容易看出，x(t)0，即x(t)单调增加。,在销出量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增大的，销出量达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，接着销售速度将开始下降。,所以初期应采取小批量生产并加以广告宣传；从有20%用户到有80%用户这段时期，应该大批量生产；后期则应适时转产，这样做可以取得较高的经济效果。,观众厅地面设计,1 问题的提出,在影视厅或报告厅，经常会为前边观众遮挡住自己的视线而苦恼。显然，场内的观众都在朝台上看，如果场内地面不做成前低后高的坡度模式，那么

45、前边观众必然会遮挡后面观众的视线。试建立数学模型设计良好的报告厅地面坡度曲线。,建立坐标系,o,o处在台上的设计视点,b,b第一排观众的眼睛到x轴的垂 直距离,x,y,a,d,d,a第一排观众与设计视点的水平距离,d相邻两排的排距,视线升高标准,x表示任一排与设计视点的水平距离,求任一排x与设计视点o的竖直距离函数,使此曲线满足视线的无遮挡要求。,问题,2 问题的假设,观众厅地面的纵剖面图一致，只需求中轴线上地面的起伏曲线即可。同一排的座位在同一等高线上。每个坐在座位上的观众的眼睛与地面的距离相等。每个坐在座位上的观众的头与地面的距离也相等。所求曲线只要使观众的视线从紧邻的前一个座位的人的头顶

46、擦过即可。,3 建模,设眼睛升起曲线应满足微分方程,初始条件,o,b,x,y,a,d,d,1）从第一排起，观众眼睛与o点的连线的斜率随排数的增加而增加，而眼睛升起曲线显然与这些直线皆相交，故此升起曲线是凹的。,2）选择某排,和相邻排,o,y,x-d,C(x,0),C2(x+d,0),M,M2,M1,x,N1,A,B,N,相似于,D,再计算,相似于,4 模型求解,微分不等式（比较定理）,设函数,定义在某个区域上，且满足,1）在D上满足存在唯一性定理的条件；2）在D上有不等式,则初值问题,与,的解,在它们共同存在区间上满足,所求曲线的近似曲线方程（折衷法）,折衷法,5 总结与讨论,有时只需求近似解

47、。,方法,利用微分不等式建模；,模型讨论,o,b,x,y,a,d,d,1）视点移动时升起曲线如何求得？,2）怎样减少地面的坡度？调整参数、相邻排错位。,3）衡量经济的指标？,座位尽量多、升起曲线占据的空间尽量少等。,碳定年代法,考古、地质学等方面的专家常用14C测定法（通常称碳定年代法）来估计文物或化石的年代。,14C的蜕变规律14C是一种由宇宙射线不断轰击大气层，使大气层产生中子，中子与氮气作用生成的具有放射性的物质。这种放射性碳可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而植物又作为动物的食物，于是放射性碳被带到各种动植物体内。14C是放射性的，无论在空气中还是在生物体内他都在不断蜕变，这种蜕

48、变规律我们可以求出来。通常假定其蜕变速度与该时刻的存余量成正比。,设在时刻t（年），生物体中14C的存量为x(t),生物体的死亡时间记为t0=0,此时14C含量为x0,由假设，初值问题（1.1）的解为（1.2）其中，为常数，k前面的符号表示14C的存量是递减的。（1.2）式表明14C是按指数递减的，而常数k可由半衰期确定，,若14C的半衰期为T,则有(1.3)将（1.3）代入（1.2）得 即有（1.4）,碳定年代法的根据 活着的生物通过新陈代谢不断摄取14C,因而他们体内的14C与空气中的14C含量相同，而生物死亡之后，停止摄取14C，因而尸体内的14C由于不断蜕变而不断减少。碳定年代法就是根

49、据生物体死亡之后体内14C蜕变减少量的变化情况来判断生物的死亡时间的。,碳定年代法的计算由（1.4）解得(1.5)由于x(0),x(t)不便于测量，我们可把(1.5)作如下修改.对(1.2)式两边求导数，得(1.6)而(1.7),(1.6)和(1.7)两式相除，得 将上式代入(1.5)，得(1.8)这样由(1.8)可知，只要知道生物体在死亡时体内14C的蜕变速度 和现在时刻t的蜕变速度,就可以求得生物体的死亡时间了，在实际计算上，都假定现代生物体中14C的蜕变速度与生物体死亡时代生物体中14C的蜕变速度相同。,马王堆一号墓年代的确定马王堆一号墓于1972年8月出土，其时测得出土的木炭标本的C1

50、4平均原子蜕变数为29.78/s,而新砍伐木头烧成的木炭中C14 平均原子蜕变数为38.37/s,又知C14的半衰期为5568年，这样，我们可以把,，T=5568 年代入(1.8)，得 这样就估算出马王堆一号墓大约是在2000多年前。,两个注记（1）马王堆中的古代科技之谜素纱蝉衣：两件轻薄的衣服，丝绸，极轻且两千年不腐，南京云锦研究所接受国家科技攻关，用了二十年时间，于1990年成功研制出类似素纱蝉衣的复制品，但该复制品比汉代的还重50克，已不可能再轻了。女尸千年不腐：病理知识：女尸解剖显示患有非常严重的冠心病；肺部有肺结核的钙化，肺部钙化是肺结核痊愈后的表现。2000年后的今天，要想控制肺结