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1、第三章 运动学中的矩阵法,描述刚体转动有三种方法:1）用绕右手直角坐标系的一组转动来描述。,刚体转动可以几只旋转矩阵来表示，这几只旋转矩阵都是以绕x、y、z轴的转动为基础而导出的。我们称绕x、y、z轴转动的旋转矩阵为基本旋转矩阵。,2）用绕空间 轴的转动来描述。,3）用欧拉角描述。,一、三只基本旋转矩阵1、绕z轴的旋转矩阵，若固连刚体上的定长矢量,绕z轴旋转角，旋转前设：,旋转后：,由图：,（3-1）,写成矩阵形式：,简写成：,则：,称为绕z轴的旋转矩阵。,（3-2）,（3-3）,对于平面：,2、,轴旋转角的矩阵表示,旋转矩阵:,（3-4）,（3-5）,（3-6）,3、,旋转角的矩阵表示,式中
2、：,为三只基本旋转矩阵，对于该矩阵有许多表示方法，都有不同但实质一样，我们常见表示为旋转矩阵：,（3-7）,（3-8）,二、绕直角坐标轴的一组旋转,随刚体旋转，旋转次序为：,注意：旋转次序对刚体最终位置有影响，（即旋转次序 不可互换）。,若定长矢量,先绕z转绕y轴转角绕x轴转角达到终点，则：,其余类推。,（3-9）,（3-10）,（3-11）,xy平面内的矩形体，经有序列三个900的旋转后的刚体位置如图，旋转次序有两种：,式311无普遍价值，具体问题需进行分析，再构成完整的旋转矩阵。,与刚体固联,方法：将,是三个方向余弦。以上旋转矩阵仅指绕x、y、z坐标轴的旋转矩阵，现要用该矩阵来描述相对于一
3、个固定坐标系中的,为旋转轴的单位矢量，分量,轴旋转角。,轴和z轴平行，,这一暂时位置,轴转回原先的位置，这种方法,设,然后使刚体绕,最后再将,可用五次转动来实现。,转动刚体使,（即z轴）旋转角，,（3-12）,即为绕任意轴,旋转角，,前后位置的关系式。,（3-13）,(3-12)中五只矩阵连乘即得,的表达式。,由图：,1,是单位矢量,代入（312）展开可得：,式中：,（3-14）,（3-15）,四、欧拉旋转矩阵,轴转,角绕N即x1轴转角绕z转过,描述刚体旋转的第三种方法是用欧拉角表示。,首先绕,（进动）,（3-16）,（章动）,（3-17）,（自转）,（3-18）,其中：,（3-19）,由于欧
4、拉角是相对位移角，所以还可自转,即：,欧拉公式通常用于定点运动机构的分析，例如蛇螺仪。三只基本旋转矩阵及三只旋转矩阵为正交矩阵，其逆矩阵为其的转置矩阵。,3-2 刚体的位移矩阵,刚体位置E用,表示，由位置1位置2可看作矢量,到,，其总位移可以看作,的平移和绕基点,角位移之和。,到,转到,由,一、平面位移矩阵,由（33）,可写成：,而,知：,（3-20）,写成分量的形式得：,（321）,式中为刚体相对固定坐标系x-y的转角。,和最终位置,及转角,是同时给定，,点的起始位置,适合计算Q点新位置坐标的形式，由式（320）求解,得：,通常，起始位置,因此当,为已知，,可将(320)改成,重新整理：,（
5、322）,将其写成33矩阵方程：,写成简单形式：,或：,则33矩阵,称为平面位移矩阵。,（323）,（324）,（325）,二、空间位移矩阵刚体空间位移矩阵，类似以上（3-20）、（3-22）、（3-25）方式的描述，图仍然适用于空间机构，只要用三维旋转矩阵,代替,即可。,为了方便，现用,于是相应表达式,（322）成：,（320）成：,（324）成：,（326）,（327）,（328）,（325）变成：,是一个44的空间位移矩阵。,（329）,轴移动，同时又以角位移,刚体位移基本矩阵方程。,上，而刚体沿着该轴作螺旋运动，,沿,轴旋转。,三、螺旋位移矩阵,式（326）,有时往往用一个特殊点P作为
6、参考点，它的两个位置,如图所示，刚体以线位移,则（326）式变为：,均在一个固定轴线,（330）,用（328）形式来写则上式成为：,可简写为：,式中,称为有限螺旋位移矩阵。为44矩阵。,（331）,（332）,解：根据参考点p运动前后的位置及刚体的转角，构成位移矩阵,例1 已知一个作平面运动的刚体，其运动可用参考点p从,位置到,位置的位移以及刚体的转角,来描述，已知刚体上任一点Q0在第一个位置,，求Q第二个位置的坐标,时其坐标,四、位移矩阵示例,再由式（3-25）可得:,例2 求例1中刚体位置1到位置2的有限旋转中心?当一个作平面运动的刚体，从位置1到位置2时，该平面上总存在一个位置不变的点，
7、此平面可以看作是绕固定平面上的这一点作旋转。该点称为有限转动中心。注意，这一点和速度为零的点（速度瞬心）概念不能混同。设旋转中心,因为描述刚体运动位移矩阵无论其所用的参考点是那一点，作得的位移矩阵元素的对应值必定是相同的。因此,作为参考点，写出解析形式的位移矩阵：,由上例,数值矩阵第三列各对应元素相等得：,再用,代入得：,例3 由数值位移矩阵元素求螺旋运动参数?螺旋运动是用来描述刚体空间有限位移的最简单运动。因此，用螺旋位移矩阵可方便地描述空间有限位移。但工程设计实际问题中，给定的刚体位置参数的已知数据常常不是螺旋运动参数的数值，我们应用螺旋位移矩阵描述空间有限位移时，首先要构成数值位移矩阵，
8、然后可求出相应的螺旋运动参数,假设刚体由位置1到位置j的数值位移矩阵,为：,的数值。,（333）,因为无论用那种形式的位移矩阵来描述空间的有限位移，对相同的位移，它们对应的元素相等。这样就可按已知的数值位移矩阵，求得相应的螺旋位移矩阵的有关参数。（1）求螺旋转角,令式（331）中旋转子阵的对角元素与已知的数值矩阵式（333）中对应元素相等，则其对角线元素的总和亦相等，即：,所以：,（334）,（2）求,由式（3-31）中旋转子阵的元素得：,所以：,同理：,（螺旋轴u的方向余弦）,（335）,（3）求线位移s及螺旋轴上参考点,的坐标,，为使计算简化，设,这时式（331）中第四列元素与已知的数值位
9、移矩阵（333）式的对应元素相等，可得方程组：,写成矩阵形式得：,假设,（336）,这里有两种特殊情况，如,即位移只沿u方向能移动s：,u方向：,当,时,s和p则由该式求得。,由上式可方便地求得,五、数值位移矩阵的建立,D1j为刚体E从第一位置E1运动到第j位置的位移矩阵。,已知刚体E上不共面的四个点P、Q、R和G在位置1和位置j时的坐标值。,1,做平面运动的刚体，其位移能用运动平面上任取的不共线的A、B、C三点的位移完全确定下来。假设：,三个位移方程可合并成：,如果知道平面上任意两点的位移，如何构成刚体的数值位移矩阵？,六、位移矩阵的逆对于平面旋转矩阵，可用角所构成的逆位移来构成,，于是:,
10、对于上式：,R是正交矩阵，对于空间旋转矩阵仍成立。,对于位移矩阵，可将位移分解成位移和转动二部分，通过依次位移矩阵来描述，即：,平面：,空间44：,一、坐标变换矩阵 设有两个原点不重合的坐标系和如图，其中点p在 坐标系中的坐标,3-3 坐 标 变 换,，在坐标系中的坐标为,，若坐标系的原点O2在坐标系中的坐标为,由图：,（337）,上式可用两坐标系中的轴间夹角的余弦表示：,（338）,将上式写成齐次的矩阵形式得：,（339）,（340）,T21称为由系变到系的坐标变换矩阵，其中16个元素只有12个有实际意义，左上角前三列的33矩阵描述坐标系在系中的方位，其九个元素只有均不在同一行（或同一列）上
11、的三个元素是独立的。第四列前三个元素表示坐标系原点O2在系中的位置（坐标）。当两坐标的原点重合，即其原点的坐标变换时，一般仍可用（339）式，只是第四列改为（0、0、0、1）即可，若z1与z2重合如图，则系到系的坐标变换矩阵为：,（340）,共原点,Z轴重合共原点,将上式与式（32）比较它们形式大致相同，前面33矩阵完全相同，所不同的只是,对平面也适合，其原点坐标变换矩阵为（33）：,若已知R点在坐标系里的坐标,则R点在系里的坐标可用（341）式求出即：,（341）,所以从系变到系的坐标变换矩阵即为坐标系绕z轴转过角使其与坐标系重合的旋转矩阵R。,位置不同。,同样若已知R点在系里的坐标,，求R
12、点在点的坐标，则：,所以：,相当于绕z转到重合。,（342）,对于不共原点坐标变换，可用同样办法讨论。如图有两个坐标系,若已知P点在系的坐标：,o2点在系里坐标：,则：,写成矩阵形式：,（343）,另一方面可以将坐标系看作,经绕z轴转角，,所形成的，可以把,写出由系到系的位移矩阵为：,所以：,以上是平面情况，同样适用于空间坐标系。,又随参考系由,点当成参考点，,（344）,二、DH矩阵相对位姿矩阵 若从空间机构中任取两相邻构件i和i+1，如在每个构件上固连一个坐标系，则i+1构件上某点p在坐标系i+1和i中的坐标变换可用式(3-39)坐标变换矩阵来描述，对于不共原点两个任意方位的坐标系，会有六
13、个独立参数:,哈登伯格（Hartenberg）和迪纳维特（Denavit）提出DH法，可使六个独立参数减少到四个。该法称为DH矩阵或位姿矩阵。,按DH表示法，图示五级副（转动副或移动副）组成的空间机构，两个相邻构件1和2中，坐标系取法为：,有效的方法为先选定各个坐标系的Z轴，对于转动副，移动副，螺旋副及级副，圆柱副，Z轴取与运动副轴线相重合；Z轴确定后，沿两个相邻Z轴（如Z1、Z2）的最短公垂线即最短距离线确定X轴，图中X2取在Z1、Z2轴最短d1的延长线上，Y轴由右手规则决定。,由上述规则可确定下列参数：,1、d1是Z2与Z1两轴的垂直距离，,正向一致时取Z；,2、1是Z2与Z1两轴间夹角，
14、面对x2轴，Z2由Z1逆时针转为正。,3、1是x2与x1两轴间夹角，面对Z1轴，x1向x2逆时针转为正。,是x1和x2间的距离，,与Z1轴方向一致时为正。,由此方程（339）式写成：,HD矩阵:,（349）,对于一个具有n个构件的闭环机构，进行连续变换，即：,闭环机构：,DH矩阵在空间机构运动分析和综合中非常有用，尤其对于机器人的运动分析特别有效。,H,（350）,（351）,例：图示一偏心曲柄滑块机构，已知机构的尺寸，进行运动分析。解：首先建立与各构件固联的坐标系，因为为平面机构则三个转动副轴线垂直纸面，构件2和构件1组成移动副，z1平行导路。,由此可以看出,又由：,H中的元素是：,的函数，
15、当给定,4就可求出s1，2和3,设：已知,（352）,求：s1，2，3等位置函数,解：代入上述（351）的结果如下：,对角线为1，其余均为零,由、行,代入得：,代入得：,，在系为,因此对矩阵，实质上若构件上有一点为 P在系中坐标为,即只要知道由系位移到系的位移矩阵得到了系到系的坐标变换，因此式（339）知T21即：,上例：,T21与H21的区别则在H-D矩阵在取坐标系过程中作了特定约定处理，计算更为简单，而T21则为一般式。,34 微分旋转矩阵和位移矩阵,1、矢量积的矩阵表示,（353）,叉积：,（354）,一、微分旋转矩阵,是,的反对称矩阵表示法。,上的单位矢量也可用反对称矩阵表示：,利用反
16、对称可将旋转矩阵,表示为：,其中：,对于旋转轴,（355）,（356）,2、角速度矩阵W,的旋转可用矩阵方程式描述，即：,R是以几种可能形式之一所表示的旋转矩阵。,位置的变化率可对上式微分：,又由:,所以：,W称为角速度矩阵。,一个矢量,（357）,（358）,对于平面：,式中：,是单位旋转轴z的反对称表示。,太烦，,的单位矢量为,，则微分导得：,空间角速度矩阵也可用（358）得出，但,所以利用矢量的微分及矢量叉积的矩阵表示导出。,若一个矢量,对于定长矢量,也可对（356）式进行微分得到,即:,（359）,（360）,3、角加速度矩阵E,再微分:,又因:,则:,所以:,写成矩阵形式:,E称为角
17、加速矩阵。,也可由（356）微分而得，即：,（361）,平面角加速度：,的特别情况，得：,可展开成空间角加速度形式为：,（362）,（363）,二、微分位移矩阵,微分形成。,定长：,由此得：,v速度矩阵,1、速度矩阵 位移矩阵一阶微分称为速度矩阵，速度矩阵可从对固定在刚体上的二点（参考点P及研究点Q）所决定的,由对,（364）,2、加速度矩阵,A加速度矩阵。同样可导出二阶加速度矩阵，又称“跃动”矩阵J：,J跃动矩阵,（365）,（366）,（367）,可见：描述刚体上任意点的速度、加速度及二次加速度的运动矩阵可以很容易地以旋转矩阵来形成，可推出一般的关系式：,（n）表示微分阶数，式369在机构运动分析和综合中经常要用。,（368）,（369）,
