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1、机械振动和电磁振荡,第十章,什么是振动？,振动:任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化,力学量（如位移、速度）,如何研究振动？,1掌握描述谐振动和简谐波动的各物理量（特别是位相和位相差）的物理意义及各量的相互关系。2掌握旋转矢量法，并能用以分析有关问题。3掌握谐振动的基本特征。能根据给定的初始条件建立一维谐振动的运动方程，并理解其物理意义。理解谐振动的能量及其特点。4理解两个同方向、同频率谐振动的合成规律，以及合振动振幅极大和极小的条件。,10-0教学基本要求,简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。,一、简谐振动的特征及其表达式,10-1 谐振动
2、,连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一个不发生形变的物体系统。,弹簧振子：,理想模型,忽略物体运动时的一切阻力；,忽略弹簧的质量；,忽略物体的弹性.,受力情况：,“”表示力与位移的方向相反.,物体在任意位置x 所受的力为,由牛顿第二定律知,受力分析：,解此二阶常系数线性微分方程可得,运动方程,动力学方程,振幅,角频率,初相位,或,用旋转矢量图画简谐运动的 图,此式表示出了作简谐振动物体的位移随时间变化的关系.x-t 曲线称之为振动曲线.,简谐振动的运动学方程为,0,对振动速度求导得振动的加速度为,从以上两式可知，作简谐振动物体的速度和加速度是时间的周期函数，而且加速度和位移成正比但方向相反.,
3、对运动学方程求导得振动速度为,简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系:,初始相位为零时,1.振幅:物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。,2 周期和频率,周期：物体作一次完全振动所经历的时间。,频率：单位时间内物体所作完全振动的次数。,二、描述谐振动的特征量,(简谐振动的三要素),角频率:物体在 秒内所作的完全振动的次数。,利用上述关系式，得谐振动表达式：,3.相位和初相,相位：决定简谐运动状态的物理量。,初相位：t=0 时的相位。,怎样用初始条件求振幅和初相位？,假设作简谐振动的物体在初始时刻的速度和位移分别为 和,解之可得,进行取舍。,相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异
4、。设有两个同频率的谐振动，表达式分别为,相位究竟是什么东西？,A/2,二者的相位差为,b.当 时,称两个振动为反相；,a.当 时,称两个振动为同相；,d.当 时,称第二个振动落后第一个振动。,c.当 时,称第二个振动超前第一个振动；,相位可以用来比较不同物理量变化的步调。,对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在:,速度的相位比位移的相位超前，加速度的相位比位移的相位超前。,简谐振动的表达式,振动三要素：,振幅A：给出了简谐振动的振动范围,角频率：决定于振动系统的固有属性；,初相位：决定于初始时刻的状态。,弹簧振子,解析法,例题分析,1.一个质量为m 的物体系于一倔强系数为 k 的轻弹簧下，挂在
5、固定的支架上，由于物体的重量使弹簧伸长了l=9.810-2m.如图所示，如果给物体一个向下的瞬时冲击力，使它具有向下的速度v=1ms-1，它就上下振动起来，试写出振动方程.,解:物体处于平衡时的位置为坐标原点o，向下为y 轴的正向，如图所示当物体偏离平衡位置时它所受的合力为-ky，因此动力学方程为,平衡时受力分析,则上式变为,物体在作简谐振动，只要求出三要素，即可写出振动方程.,以物体处于平衡位置且向下运动时为计时起点，则y0=0，v0=1ms-1，于是有,该物体的振动方程为,求解振动三要素中的初相位：,（一）解析法,（二）图像法,由振动曲线决定初相(给定振动曲线，写出振动方程),为四象限角,
6、a,e,b,f,10 cm,(p/6)rad/s,p/3,求解振动三要素中的初相位：,（一）解析法,（二）图像法,（三）旋转矢量法,旋转矢量:一长度等于振幅A的矢量 在纸平面,可直观地领会简谐振动表达式中各个物理量的意义。,三、谐振动的旋转矢量图示法,内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的,角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。,在任意刻t，矢量 端点在x轴上的投影为,沿ox 轴作简谐振动的物体在t 时刻相对于原点的位移.所以简谐振动可以用旋转矢量表示.,旋转矢量 的模,简谐振动的振幅,旋转矢量 转动角速度,简谐振动角频率,由x、v 的符号确定 所在的象限：,解：作t=0时刻的旋转矢量,作x
7、=-12cm处的旋转矢量,12,-12,补充知识：,利用旋转矢量法作 x-t 图:,速度、加速度的旋转矢量表示法：,M 点:,沿X 轴的投影为简谐运动的速度、加速度表达式。,两个同频率的简谐运动：,相位之差为,采用旋转矢量直观表示为,例题10-1 一物体沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12 m,周期T=2 s。当t=0时,物体的位移x=0.06 m,且向x轴正向运动。求:(1)简谐振动表达式;(2)t=T/4时物体的位置、速度和加速度;(3)物体从x=-0.06 m向x轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。,解:(1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为,初始条件：t=0 s,x0=0.06
8、 m,可得,其中A=0.12 m,T=2 s,据初始条件,得,从而可得,(2)由(1)求得的简谐振动表达式得,在t=T/4=0.5 s时，从前面所列的表达式可得,(2)t=T/4时物体的位置、速度和加速度,(3)当x=-0.06 m时，该时刻设为t1,得,因该时刻速度为负，应舍去，,设物体在t2时刻第一次回到平衡位置，相位是,(3)物体从x=-0.06 m向x轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间,因此从x=-0.06 m处第一次回到平衡位置的时间：,另解：从t1时刻到t2时刻所对应的相差为,例.已知 xt 曲线,写出振动方程,解,1,作业：P46101，102，103,1.单摆,一根不会伸
9、长的细线，上端固定，下端悬挂一个,四、几种常见的谐振动,很小重物，重物略加移动就可以在竖直平面内来回摆动。,单摆受力分析如右图所示，,根据牛顿第二运动定律可得,其中,单摆在摆角很小时，在平衡位置附近作角谐振动，周期,根据上述周期的级数公式，可以将周期计算到所要求的任何精度。,2.复摆,一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆(物理摆)。,刚体的质心为C,对过O 点的转轴的转动惯量为J,O、C 两点间距离的距离为h。,据转动定律，得,令,例题10-2 一质量为m的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。,解：船静止时浮力与重力平衡，,船在任一位置时，以水面
10、为坐标原点,竖直向下的坐标轴为y轴，船的位移用y表示。,船的位移为y时船所受合力为,船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为,动能,势能,以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。,系统总的机械能：,五、简谐振动的能量,上述结果对任一谐振系统均成立。,谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:,*六、用能量法解谐振动问题,步骤：,一阶微分方程，再根据初始条件，即可求出振动,从给定系统的能量关系式出发，得到振动的,方程。,例题10-3 在横截面为S的U形管中有适量液体，,起伏的振动频率（忽略液体与管壁间的摩擦）。,解：选如图所示坐标系，两液面相齐时的平衡位置,为势能零点。,系统的势能为,液体的
11、动能为,由能量守恒得,对时间求导，并整理可得,液体作简谐振动，其角频率及周期分别为,又因为,解：设棒长为2R,质量为m，在,质量的细绳悬挂起来,当棒以微小角度绕中心轴,hc是棒的质心相对棒平衡时质心位置的高度,有,系统机械能守恒,将上式两端对时间求导，并利用关系,常量,例题10-5 劲度系数为k、原长为l、质量为m的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。,解：平衡时O点为处,坐标原点。物体运动到x,时，弹簧固定端位移为,速度为,弹簧、物体的动能分别为,系统弹性势能为,系统机械能守恒，有,将上式对时间求导，整理后可得,因此，弹簧质量小于物体质量，且系统作微运动时，弹簧振子的运动可视为是简谐运动。,常量,常量,
