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1、概率论与数理统计,计算机科学学院 王艳娥,先修课程：高等数学、线性代数教学课时：54课时教材：概率论与数理统计浙江大学盛骤 谢式千 潘成毅 编高等教育出版社,教学目的：通过本课程的学习，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念、基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想与方法，培养学生运用概率论与数理统计方法分析和解决实际问题的能力，为后续课程的学习及实践打下基础。,前 言,概率：表示一件事情发生的可能性大小的数值概率论：研究随机现象数量规律的一门学科统计学：关于数据的收集、整理、分析、推断的 一门学科数理统计：以概率论为工具的统计，由样本对总 体做出一种推断,为什么要学习这门课？
2、,理论严谨、应用广泛、发展迅速目前,不仅高等学校各专业都开设了这门课程,而且从上世纪末开始,这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一.概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学领域,例如天气预报,地震预报,产品的抽样调查;在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性,分辨率等等.,概率论的起源,大约400年以前,欧洲一些赌徒遇到这样的问题,1.同时掷两枚骰子,以每个骰子朝上的点数之和作为赌博的内容,问赌注下在多少点最有利?,2.甲乙二人赌博,各出赌注30元,共60元,每局甲、乙胜的机会均等,都为1/2。约定:谁先胜满3局,则他赢得全部赌注60元。现已赌完3局,甲2胜1负,因故中断赌博,问这60元如何
3、分给2人才算公平?,第一章 概率论的基本概念,随机试验、样本空间、随机事件频率与概率等可能概型（古典概型）条件概率独立性,随机现象,自然界所观察到的现象:,在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.,“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象,“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例,实例1“在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反两面出现的情况”.,2.随机现象,结果有可能出现正面也可能出现反面.,确定性现象的特征,条件完全决定结果,结果有可能为:,“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.,实例3“抛掷一枚骰子,观 察出现的点数”.,实例2“用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多
4、发,观察弹落点的情况”.,结果:“弹落点会各不相同”.,实例4“从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”.,其结果可能为:,正品、次品.,实例5“过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯”.,实例6“出生的婴儿可能是男,也可能是女”.,实例7“明天的天气可能是晴,也可能是多云或雨”等都为随机现象.,随机现象的,个别试验中呈现不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性。,特征,随机现象：个别试验中,其结果呈现出不确定性,在大量重复试验中,其结果又具有统计规律性的现象。在我们所生活的世界上，充满了不确定性 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间
5、万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化，我们无时无刻不面临着不确定性.,从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经 认识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东西.他们没有认识到有可能去研究随机性，或者是去测量不定性.,将不定性（随机性）数量化，来尝试回答这些问题，是直到20世纪初叶才开始的.还不能说这个努力已经十分成功了，但就是那些已得到的成果，已经给人类活动的一切领域带来了一场革命.,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题 什么是随机试验?,如何来研究随机现象?,1.试验：包括各种各样的科学实验,也包括对客 观事物进行的“观察”、“测量”等.2.
6、随机试验(E)：具有以下三个特征的试验,(1)可以在相同的条件下重复地进行;,(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;,(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,E1:抛一枚硬币,观察出现正面H和反面T的情况;E2:将一枚硬币连抛三次,观察出现正反面的情况;E3:将一枚硬币连抛三次,观察出现正面的次数;E4:掷一颗骰子,观察出现的点数;E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数;E6:在一批灯泡中任取一只,测其寿命;E7:在某班任选一人,记录他的身高和体重.,3.样本空间:随机试验E的所有可能的结果组成的 集合.记为S.样本点:样本空间中的每个元素,即试验的每个
7、 结果.记为e.,EX：给出E1-E7的样本空间,4.随机事件(事件):试验E的样本空间S的子集.常用A、B、C等表示.,事件A发生当且仅当A中有一个样本点出现.基本事件 由一个样本点组成的单点集.必然事件 S 不可能事件 F,注意 一旦做完试验,就会出现一个结果,即有一个 样本点出现.,E2:将一枚硬币连抛三次,观察正反面出现的情况；E4:掷一颗骰子,观察出现的点数.,A=HHH,HHT,HTH,HTT,B=HHH,TTT,C=HTT,THT,TTH,D=S4,F=F,对于试验E2,以下A,B,C为随机事件 试验E4中 D,F为随机事件,A:第一次出现正面;B:三次出现同一面;C:恰好出现一
8、次正面.,D:出现不大于6的点;F:出现小于1的点.,可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率.还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，如试验E2，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B同时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生。易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。,ABeA 则:eB 集合A包含在集合B之中,AB事件A发生则事件B发生 事件A包含在事件B之中,若AB,又BA,则称事件A与B相等,记为A=B.,eAB eA 或 eB 集合A与集合B的和或并
9、,AB发生当且仅当 事件A发生或事件B发生 即：事件A或事件B之中至少有一个发生 AB 事件A与B的和或并,n个事件A1,A2,An的和 C发生就是A1,A2,An中至少一个发生.,可列个事件A1,A2,的和 C发生就是A1,A2中至少一个发生.,eAB eA 且 eB 集合A与集合B的积,AB发生当且仅当 事件A发生且事件B发生 事件A与事件B同时发生 AB 事件A与B的积事件,n个事件A1,A2,An的积 C发生就是A1,A2,An同时发生.,可列个事件A1,A2,的积 C发生就是A1,A2同时发生.,A-BeA 且 eB 在集合A但不在集合B之中,A-B发生当且仅当 事件A发生而事件B不
10、发生 A-B 事件A与B的差事件,若AB=,则称A与B为互不相容事件(或互斥),也就是说事件A与B不可能同时发生.,A,B,注 基本事件两两互不相容,若AB=S,AB=,则称A与B互为逆事件，或互为对立事件,也就是说每次试验 A、B中有且只有一个发生.,注“A与B 互相对立”与“A与B 互斥”不同,A的对立事件记为 A,集合的运算法则都适用,常用的有,交换律,结合律,分配律,对偶律,运算顺序：逆交并差，括号优先,例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹,以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标,试用A、B、C表示下列事件：,A1：至少有一人命中目标A2：恰有一人命中目标A3：恰有两人命中目标A4：
11、最多有一人命中目标A5：三人均命中目标A6：三人均未命中目标,休息片刻继续下一讲,3 频率与概率,从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性的大小,?,P(A)应具有何种性质？,频率：描述n次试验中事件发生的频繁程度,概率：表征事件在一次试验中发生的可能性大小,试验,在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小.这个性质叫做频率的稳定性.,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小.尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率就会非常接近一个值-概率.因此，概率是可以通过频率来“测量”的,频率是概率的一个近似.,
12、更多频率稳定性的试验,频率,具有如下基本性质:,是两两互不相容的事件，则,1.,2.,3.若,某一定数,4.,频率的稳定性,当n时,概率,1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.,设E是随机试验,S是样本空间.对于E的每一个事件A赋予一个实数,记为P(A),这个集合函数如果满足下列条件：,那么称P(A)为事件A的概率.,1.非负性:对每个事件A有,2.规范性:对必然事件S有,3.可列可加性:设A1,A2,是两两互不相容事件,则,概率的定义,概率的性质,1
13、.,2.若,3.设,是两两互不相容事件,则有,则有,是两个事件,若,6.(加法公式)对任意两事件A,B有,5.(逆事件的概率)对任一事件A，有,4.对任一事件A,推广到3个事件A,B,C有,?,证明:,作业：25页 2，3,推广到n个事件 有,4 等可能概型（古典概型）,若某实验E满足1.有限性：样本空间Se1,e 2,e n;2.等可能性：P(e1)=P(e2)=P(en).则称E为等可能概型也叫古典概型.,一、定义,设古典概型E的样本空间为Se1,e2,en,若事件A包含k个基本事件,设为 Aei1,ei2,eik.则有,古典概型中事件概率的计算公式:,由于基本事件互不相容,及等可能概型中
14、每个基本事件发生的概率相同，则1=P(S)=P(e1e2 en)=P(e1)+P(e2)+P(en)=nP(ei)所以,P(ei)=1/n,i=1,2,n.那么,P(A)=P(ei1ei2 eik)=P(ei1)+P(ei2)+P(eik)=k/n.,推导,1、判断试验是否为等可能概型.2、计算出样本空间S及事件A所包含基本事件的个数.若A,S中含有元素较少时,可将元素一一列举出来；否则只需计算出A,S中包含元素的个数,即基本事件的数目.3、利用公式计算P(A).,求古典概型事件概率的步骤,例1:将一枚硬币抛掷三次(1)设A1:恰有一次出现正面,求P(A1)；(2)设A2:至少有一次出现正面,
15、求P(A2).,解:S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,(1)A1=HTT,TTH,THT,所以,(2)A2=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,所以,乘法原则：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法,复习：排列与组合的基本概念,二、古典概型的几类基本问题,加法原则：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。,共有 nk 种排列方式.,共有 Ank=n(n-1)(n-k+1)种排列方式.,有重复排列：从含有n个元素的集合中随
16、机抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，,无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次,每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，,种取法.,组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有,1、取球问题 在实际中,产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机取球问题.我们选择取球模型的目的在于使问题的数学意义更加突出,而不必过多的交代实际背景.,A无放回地取球,问题:设袋中有4只白球和2只红球,现从袋中无放回地依次取出2只球,求这2只球都是白球的概率.,解：设A=取到的2只球都是白球,或,无放回取球模型的应用,（1）检查废品问题设100只晶体管中有5只废品
17、,先从中抽取15只,求其中恰有2只废品的概率.,（2）分组问题把20个球队分成两组(每组10队)进行比赛,求最强的两队分在不同组的概率.,（3）扑克牌花色问题求某桥牌选手拿到一副牌(13张)中恰有黑桃6张,方块3张,草花4张的概率.,B 有放回地取球,问题：袋中有4个红球,6个黑球,从中有放回地取球3次,求前2次取到黑球、第3次取到红球的概率.,解：A=前2次取到黑球，第3次取到红球,有放回取球模型的应用,(1)电话号码问题在7位数的电话号码(首位不为0)中,求数字0恰好出现3次的概率.,(2)骰子问题掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的概率.,2、球入盒子问题 一般地，把n个球随机地分配到N个盒
18、子中去(nN)，则每盒至多有一球的概率是多少？(假设盒子的容量无限),?,生日问题问全班40个同学生日皆不相同的概率为多少?至少两人在同一天生日的概率有多大?,应用,分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地分配到3间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.,3、随机取数问题,问题:在1到2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?,解:设A:取到的数能被6整除，B:取到的数能被8整除.,则所求概率为,因为,所以,AB：表示一个数能被6整除,又能被8整除,就相当于能被24整除.,由,得,所求概率为,4、分配问题,问题:将15名新生随机地平均分配到三个班级中
19、去，这15名新生中有3名优秀生.问(1)每个班级各分到1名优秀生的概率是多少？(2)3名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？,分析:,总分法,例:袋中有a只白球,b只红球,k个人依次在袋中取一只球,(1)作放回抽样;(2)不放回抽样,求第i人取到白球(记为事件B)的概率.,解：(1)放回抽样,(2)不放回抽样,再来看一个常见的抓阄抽奖例子.参加抓阄抽奖,当然人人都想得奖,这时候该先抽奖还是后抽,才能让中奖概率提高呢?让我们用科学方法解决这个问题吧.假设有三个阄,其中一个标有“奖”,另两个为空,甲乙丙依次从箱中摸出一个,谁最有机会摸到标有“奖”的阄呢?首先,甲的机会是三摸一,所以甲摸到标有“奖”
20、的阄的概率是1/3.然后,甲没有摸到的概率是2/3.此时,乙摸到的概率(只剩2个阄让乙摸):2/31/2=1/3,所以乙摸到标有“奖”的阄的概率是1/3.丙呢?丙只有在甲、乙都没有摸到的情况下才可能摸到,所以扣掉甲、乙摸中的概率,就是丙的,其概率是1-1/3-1/3=1/3.不管先摸也好,后摸也罢,每个人摸到甜苹果的机会其实都是1/3 抓阄是公平的.,例:某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的？,解：设接待时间是没有规定的,而各来访者在一周内任意一天去接待站是等可能的.那么接待来访者都在周二和周四的概率为:,接待来访者都
21、在周二和周四是一个小概率事件.所以可以推断接待时间有规定.,作业：25页 4、8、11、17,5 条件概率,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率，将此概率记作P(B|A).一般 P(B|A)P(B),一、条件概率,例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，(1)已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;(2)求第二次取到红球的概率(3)求两次均取到红球的概率,解 设A:第一次取到红球,B:第二次取到红球,A:第一次取到红球,B:第二次取到红球,S=,A,AB,对于一般古典概型问题
22、,若试验的基本事件总数为n,A、B是两个事件,其中A含有nA(nA 0)个样本点，AB含有nAB 个样本点，则,称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.,一般地,设A、B是E的两个事件,且P(A)0则,条件概率的定义,条件概率的计算,1.用定义计算:,2.按条件概率的含义计算.由加入条件后改变了的情况去算,A发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数,在缩减样本空间中B所含样本点个数,(古典概型),条件概率的性质,设B是一事件,且P(A)0,则对任意事件B,0P(B|A)1;P(S|A)=1;3.设B1,B2,是两两互不相容事件,则,而且，前面对于概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率.比如
23、加法公式.,例2 一盒中混有100只新、旧乒乓球,各有红、白两色，分类如下表.从盒中随机取出一球,若取得的是一只红球,试求该红球是新球的概率.,解:设A:从盒中随机取到一只红球.B:从盒中随机取到一只新球.,A,B,条件概率 P(B|A)与 P(B)的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设B是随机试验的一个事件，则P(B)是在该试验条件下事件B发生的可能性大小.而条件概率P(B|A)是在原条件下又添加“A发生”这个条件时B发生的可能性大小，即P(B|A)仍是概率.P(B)与P(B|A)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.,设A、B是随机事件,P(A)
24、0,则 P(AB)P(B|A)P(A).称为事件A、B的乘法公式。,二、乘法定理,乘法公式还有一种对称形式：若P(B)0,则P(AB)P(A|B)P(B).,利用乘法公式可计算几个事件同时发生的概率.,推广：P(ABC)P(C|AB)P(B|A)P(A).P(A1A2An)P(An|A1An1).P(A2|A1)P(A1),P(AB)0,P(A1An1)0,例3 盒中有3个红球，2个白球,每次从袋中任取一只,观察其颜色后放回,并再放入一只与所取之球颜色相同的球,若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率.,解：设Ai为第i次取球时取到白球，则,全概率公式和贝叶斯公式
25、主要用于计算比较复杂事件的概率和后验概率 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,三、全概率公式和贝叶斯公式,例4 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2,且三家工厂的次品率分别为 2、1、3,试求市场上该品牌产品的次品率。,B,解 设B:买到一件次品,A1:买到一件甲厂的产品A2:买到一件乙厂的产品A3:买到一件丙厂的产品则,定义 事件组A1，A2，An(n可为)，称为样本空间S的一个划分，若满足：,A1,A2,An,B,定理1、设A1，,An 是 S 的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B有,上式就称为全概率
26、公式.,因为 B=BS=B(A1A2 An)=BA1BA2BAn 且(BAi)(BAj)=F，ij 那么,P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BAn)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|An)P(An),证明,全概率公式的来由,不难由上式看出:“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于:,在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但容易找出样本空间的一个划分A1，,An,且P(Ai)及P(B|Ai)或已知或易求出,就可用全概率公式计算.,我们还可以从另一个角度去理解全概率公式,某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,n)，如果B是由原因A
27、i 所引起，则B发生的概率是 P(B|Ai)P(Ai),每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.,由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.,解 设A1:从甲袋放入乙袋的是白球；A2:从甲袋放入乙袋的是红球；B:从乙袋中任取一球是红球,例5 有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，1个白球这6个球手感上不可区别今从甲袋中任取1球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取1球，问此球是红球的概率？,思考：上例中，若已知
28、由乙袋取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,答:,这是“已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生的条件下，求各原因发生可能性大小.,定理2 设A1,An是S的一个划分,且P(Ai)0,(i1,n)，则对任何事件B，有,上式就称为贝叶斯公式.,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.,例4 若在市场上买一件该品牌产品是次品，试分析这个次品来自哪个厂的概率更大些。,解 设B:买到一件次品,A1:买到一件甲厂的产品 A2:买到一件乙厂的产品 A3:买到一件丙厂的产品则,由全
29、概率公式可知,丙厂,贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因.,在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的先验概率和后验概率.,P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下,人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息(知道B发生),人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.,例6 商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,某顾客选中一箱,从中任选4只检查,结果都是好的,便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少?,解:设A:从一箱
30、中任取4只检查,结果都是好的.B0,B1,B2分别表示每箱含0,1,2只次品,已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1,例7 数字通讯过程中,信源发射0、1两种状态信号,其中发0的概率为0.55,发1的概率为0.45.由于信道中存在干扰,在发0的时候,接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”.在发1的时候,接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”.现接收端接收到一个“1”的信号,问发端发的是0的概率是多少?,解 设A:发射端发射“0”,B:接收端接收到一个“1”的信号,0(0.55),0 1 不清,(0.9)(0.05)(
31、0.05),1(0.45),1 0 不清,(0.85)(0.05)(0.1),=0.067,0 1 不清,这一讲我们介绍了全概率公式 贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用.值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影响.,作业：26页 14、18、19、23,6 独立性,一、两个事件的独立性,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次,设A=第一次掷出6点,B=第二次掷出6点,求 P(B|A)，P(B).,这就是说:已知事件A发生,并不影响事件B发生的概率,即 P(B|A)=P(B),这时称事件A、B独立.,由乘法公式知，当事
32、件A、B独立时，有 P(AB)=P(A)P(B)。,P(AB)=P(A)P(B|A),用 P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性，比用P(A|B)=P(A)或 P(B|A)=P(B)更好，它不受P(B)0或P(A)0的制约。,两事件独立定义：,若两事件A、B满足 P(AB)=P(A)P(B)(1)则称A、B独立,或称A、B相互独立.,两事件相互独立的性质,1.两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的.若P(A)0,则A 与 B 相互独立的充分必要条是P(B|A)=P(B).若P(B)0,则A 与 B 相互独立的充分必要条件是P(A|B)=P(A).若P(A)0,P(B)0,“A 与 B 相互独
33、立”和“A 与 B 互斥”不能同时成立.,问：能否在样本空间S中找两个事件,它们既相互独立又互斥?,任意事件A与F 独立且互斥.,因为，AF=F,P(AF)=P(F)=0=P(A)P(F)所以,任意事件A与F独立且互斥.,设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,前面我们看到独立与互斥的区别和联系，,1.P(B|A)0，2.P(A|B)=P(A)，3.P(A|B)=0，4.P(AB)=P(A)P(B)。,设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,1.P(B|A)0，2.P(A|B)=P(A)，3.P(A|B)=0，4.P(AB)=
34、P(A)P(B)。,再请你做个小练习。,=P(A)-P(AB),P(A)=P(A-A B),A、B独立,故A与 独立。,概率的性质,=P(A)-P(A)P(B),证明:仅证A与 独立.,=P(A)1-P(B)=P(A)P(),从一付52张的扑克牌中任意抽取一张，以A表示抽出一张A，以B表示抽出一张黑桃，问A与B是否独立？,二、多个事件的独立性,定义 若三个事件A、B、C满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；,若在此基础上还满足：(2)P(ABC)P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、C相互独立。,一般
35、地,设A1,A2,An是 n个事件，如果对任意k(1kn),任意 1i1 i2 ik n,等式,包含等式总数为：,成立,则称n个事件A1,A2,An相互独立.,思考：1.设事件A、B、C、D相互独立，则,2.一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次至少得一个双六，这两件事，哪一个有更多的机会遇到？,答:0.518,0.496,?,与,独立吗?,若n个事件 A1,A2,An 相互独立,将这n 个事件任意分成 k 组，同一个事件不能同时属于两个不同的组，则对每组的事件进行求和、积、差、对立等运算所得到的 k 个事件也相互独立,请注意n(n2)个事件两两独立与事件相互独立的区别与联系,两两独立
36、,相互独立,/,常由实际问题的意义判断事件的独立性,事件独立性的判断,由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立。,例如:甲、乙两人向同一目标射击,记 A:甲命中,B:乙命中,A与B是否独立？,又如：一批产品共n件,从中抽取2件,设 Ai=第i 件是合格品,i=1,2.则A1与A2是否相互独立?,若抽取是有放回的,则A1与A2独立。,因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响。,因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响。,若抽取是无放回的，则A1与A2不独立。,三、事件独立性的应用,1.利用公式简化独立事件积事件的概率计算.,2.加法公式的简化:若事件A1,A2,An相互独立,则,
37、推导,设事件 相互独立,则,P(A1A2An),也就是说:n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。,也相互独立,例设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为0.4%，求来自不同地区的100个人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率,解设这100 个人的血清混合液中含有肝炎病毒为事件 A，第 i 个人的血清中含有肝炎病毒为事件 Ai，,则,若Bn 表示 n 个人的血清混合液中含有肝炎病毒，则,不能忽视小概率事件，小概率事件迟早要发生,3.在可靠性理论上的应用,如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率.,设
38、A:L至R为通路,Ai:第i个继电器通,i=1,2,5,设A:L至R为通路,Ai:第i个继电器通,i=1,2,5,由全概率公式,例：验收100件产品的方案如下，从中任取3件进行独立地测试,如果至少有一件被断定为次品,则拒绝接收此批产品。设一件次品经测试后被断定为次品的概率为0.95,一件正品经测试后被断定为正品的概率为0.99,并已知这100件产品恰有4件次品。求此批产品能被接收的概率。,解:设 A=此批产品被接收，Bi=取出3件产品中恰有i件是次品，i=0,1,2,3。则,因三次测试是相互独立的，故 P(A|B0)=0.993，P(A|B1)=0.992(1-0.95),P(A|B2)=0.99(1-0.95)2,P(A|B3)=(1-0.95)3。由全率公式,得,第一章 小结 本章由五个概念(随机试验、随机事件、概率、条件概率、独立性),四个公式(加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式)和一个概型(等可能概型)组成,作业：28页 36、38、40,
