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1、第二章误差理论与平差原则,第一节 偶然误差的统计规律,第二节 衡量精度的指标,第三节 协方差传播率,第五节 权与定权的常用方法,第四节 协因数传播率及其应用,第六节 协因数与协因数传播率第七节 由真误差计算中误差及其实际应用,第八节 测量平差原则,观测值：对该量观测所得的值，一般用Li表示。,一、几个概念,真误差：观测值与真值之差，一般用i=-Li 表示。,真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数值，一般用 表示。,第一节 偶然误差的统计规律,观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、L2Ln可表示为：,第一节 偶然误差的统计规律,二、偶然误差的特性,例1：在相同的条件下独立观测了358
2、个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。,第一节 偶然误差的统计规律,用直方图表示:,所有面积之和=k1/n+k2/n+.=1,第一节 偶然误差的统计规律,0.475,提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。,第一节 偶然误差的统计规律,1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定的界限；,2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数多；,3、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；,偶然误差的
3、特性：,第一节 偶然误差的统计规律,一、精度的含义,所谓精度是指偶然误差分布的密集离散程度。一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。,提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。,第二节 衡量精度的指标,可见：左图误差分布曲线较高 且陡峭，精度高 右图误差分布曲线较低 且平缓，精度低,第二节 衡量精度的指标,1、方差/中误差,二、衡量精度的指标,方差：,中误差：,提示：越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。,第二节 衡量精度的指标,2、极限误差,3、相对误差,中误差与观测值之比，一般用1/M表示。,第二节 衡量
4、精度的指标,一、协方差,对于变量X，Y，其协方差为：,第三节 协方差传播律,表示X、Y间互不相关，对于正态分布而言，相互独立。,表示X、Y间相关,对于向量X=X1，X2，XnT，将其元素间的方差、协方差阵表示为：,特点：I 对称 II 正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当 对角元 相等时，为等精度观测。,第三节 协方差传播律,二、观测值线性函数的方差,已知：,那么：,第三节 协方差传播律,三、多个观测值线性函数的协方差阵,已知：,例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。,第三节 协方差传播律,四、非线性函数的情
5、况,设有观测值X的非线性函数：,已知：,第三节 协方差传播律,将Z按台劳级数在X0处展开：,第三节 协方差传播律,第三节 协方差传播律,协方差传播应用步骤:,根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式 或 写出观测量的协方差阵对函数进行线性化应用协方差传播律求方差或协方差阵。,第三节 协方差传播律,例1-6 经个N测站测定两水准点A、B间的高差，其中第i(i=1,2N)站的观测高差为解：A、B两水准点间的高差为：设：各测站观测高差是精度相同的独立观测值，其中误差均为，。应用协方差传播律，得设：若水准路线敷设在平坦的地区，前后量测站间的距离s大致相等，设A、B间的距离为S，则A、B两点的观测高
6、差的中误差为：可见，当各测站高差的观测精度相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比；当各测站的距离大致相等时，水准测量高差的中误差与距离的平方根成正比。,第四节 协方差传播律及其应用,例1-7 设对某量以同精度独立观测了N次，得观测值，它们的中误差均等于。求N个观测值的算术平均值的中误差。解：应用协方差传播律得：即：N个同精度独立观测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以观测值个数的平方根。,第四节 协方差传播律及其应用,一、权的定义,称为观测值Li的权。权与方差成反比。,第五节 权与定权的常用方法,（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，一个问题只选一个
7、0。,（四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。,由此可见：,第五节 权与定权的常用方法,二、单位权中误差,三、常用的定权方法,1、水准测量的权,或,2、边角定权,第五节 权与定权的常用方法,一、协因数与协因数阵,第六节 协因数与协因数传播律,不难得出：,因数阵,QXX为协,第六节 协因数与协因数传播律,特点：I 对称，对角元素为权倒数 II 正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当 为等精度观测，单位阵。,第六节 协因数与协因数传播律,二、权阵,称为 的权阵。当 是对角阵时，权阵 的主对角线元素就是 的权；当 是非对角阵时，权阵的主对角线元素不再是 的权了，权阵的各个元素也不再有权的
8、意义了。但是，相关观测值向量的权阵 在平差计算中，也能同样起到同独立观测值向量的权阵一样的作用。,设有独立的观测值，权为Pi，则观测向量X的权阵为,则有,第六节 协因数与协因数传播律,三、协因数传播律 设有观测值向量 和 的线性函数根据协方差传播律：顾及协方差阵与协因数阵的关系,化简得：上式称为协因数传播律。协方差传播律与协因数传播律联合称为广义传播律。,第六节 协因数与协因数传播律,二、权倒数传播律（观测值独立）对于独立观测值，假定各 的权为，则 的权阵、协因数阵均为对角阵,有函数：线性化：权倒数传播律,第六节 协因数与协因数传播律,一、由真误差计算中误差的应用 1由三角形闭合差求测角方差
9、设在一个三角网中，以同精度独立观测了各三角形之内角，由各观测角值计算而得的三角形闭合差分别为它们是一组真误差，则三角形闭合差的方差为 设测角方差均为，根据协方差传播律得：,第七节 由真误差计算中误差及其实际应用,上式称为菲列罗公式，在传统的三角形测量中经常用它来初步评定测角的精度。,二、由真误差计算中误差的应用 2由双观测值之差求中误差 设对量，分别观测两次，得独立观测值和权：第一次：第二次：权：两次观测值的差数：,由于差数的真值为0，所以差数的真误差就是差数本身。这样我们就得到了一组真误差。差数（真误差）的权：观测值 和 的方差第i对平均值的方差：,，,单位权方差,第七节 由真误差计算中误差
10、及其实际应用,第八节 测量平差原则,因为测量总是存在误差，为了能及时发现错误和提高成果的精度，常进行多余观测，因而观测值之间会出现不符值，所以要进行平差，平差应遵循的原则最小二乘法,复习思考题及课外作业,1.误差传播定律是用来解决什么问题的？2.试述应用误差传播定律的实际步骤。3.为什么说三角形闭合差是真误差？如何由三角形闭合差计算测角中误差？4.权是怎样定义的？权与中误差有何关系？有了中误差，为什么还要引进权的概念？5.在 中，是任意假定的常数，我们为什么要称它为单位权中误差？什么样的观测值称为单位权观测值？6.当只有一个观测值时，给定它的权是否有意义，为什么？7.应用权倒数传播律时，应注意什么问题？8.权倒数传播律与误差传播律有何异同？,
