电子讲稿-复变函数.ppt

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1、1,数学物理方法,主讲教师：袁长迎、6089972E-mail:,辐射防护与环境工程07年级,2,课程性质,在高等数学和普通物理的基础上，学习物理中的常用数学方法，掌握复变函数、数学物理方程和特殊函数的基本理论、建模方法和计算方法，培养学生严谨的逻辑和推演等理性思维能力，并能将数学结果联系物理实际，加深对物理理论的理解，为学习量子力学、原子核物理学等后继课程打下良好的基础。,3,复变函数论数学物理方程（特殊函数）,数学物理方法,4,5,教材数学物理方法（第三版）梁昆淼编，高教出版社。参考书数学物理方法，汪德新，华中科技大学出版社数学物理方法，郭敦仁编，高教出版社高等数学（第四册）。四川大学。高

2、等教育出版社,6,第一篇 复变函数论,数的概念的扩展,自然数 减法不封闭 整数 除法不封闭 有理数 正数的指数运算不封闭 实数 负数的指数运算不封闭 复数,7,第一章 复变函数,复数复变函数导数解析函数本章小结,8,1复数和复数的代数式,2复平面 实轴和虚轴,1.1 复数,9,3复数的三角式 指数式,(主辐角),4无穷远点,模为无穷大，辐角没有定义。零点，辐角没有定义。,(模),(辐角),10,5复数的运算,加减,乘除,幂和开方,复共轭,11,作业：1.1习题1（6）（7）（8）2（6）（7）3（4）（8）,例 已知一复数Z，画出，并指出它们的几何关系。,12,1.2 复变函数,1复变函数的定

3、义,函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域）的映射 实变函数：y=f(x)复变函数：w=f(z),2复变函数的定义域,13,3初等复变函数,指数函数,三角函数和双曲函数,14,幂函数,对数函数,例：,15,任意次幂函数,根式函数,例：,单值分支,16,O,O,O,O,枝点,17,多值函数的单值化处理 黎曼面,18,作业 1.2习题2（2）（3）（8）3,19,1.3 复变函数的导数,一、复变函数的导数的定义,科希黎曼方程,二、求导法则和导数基本公式,三、复变函数导数存在的必要条件,充分条件：连续，满足科希-黎曼条件,20,四、极坐标系中的科希-黎曼条件,21,1.4 解析函数,一、解析函

4、数的定义,复变函数 在区域B上处处可导。区域B上的解析函数。,二、解析函数与调和函数的关系,调和函数：,则 为二维调和函数,解析函数的实部和虚部都是调和函数。,共轭调和函数,22,三、解析函数的性质,是区域B上的两组正交曲线簇。,若 在区域B上解析，则,四、举例：由实（虚）部求虚（实）部,23,例1 已知,是解析函数，且,求出该解析函数。,从而,方法二：不定积分法,解：方法一：凑全微分法,24,方法三：曲线积分法,作业 p18 习题12（1）（4）（6）（10）,25,本章小结,复变函数定义：两个复数集合之间的映射；特点：定义域和值域为2维；分析：可以分解成2个二元实函数；解析函数满足CR条件

5、；实部和虚部都是调和函数，相互正交。,26,路径积分（积分的定义）柯西定理不定积分柯西公式本章小结,第二章 复变函数的积分,27,2.1 复变函数的积分,一、复变函数积分的定义,二、复变函数积分的简单性质,28,例题1沿图所示的三条曲线分别计算复变函数Czdz从O到B的定积分。,29,例题2沿图所示的三条曲线分别计算复变函数z-1dz从A到D的定积分。,解：,30,习题一 按给定的路径计算积分：（1）沿路径C1：的上半圆周；（2）沿路径C2：的下半圆周。,习题二 计算积分：C分别为：（1）（2）（3）,作业,31,2.2 柯西（科希）定理,一、单连通区域上的柯西定理,或,格林公式,32,二、复

6、连通区域上的柯西定理,33,例1 计算回路积分,根据复连通区域上的科希定理，有,令,，则,根据科希定理,34,例2 计算回路积分,35,2.3 不定积分,例：计算不定积分,36,2.4 柯西公式,一、柯西公式,意义：解析函数的整体性：内部值完全由边界值决定。,37,二、柯西公式的推论,推论一 解析函数有任意阶导数。,推论二 模数原理,f(z)在闭区域解析，则|f(z)|在边界上取最大值,38,推论三 刘维尔定理,例：计算回路积分,全平面上有界的解析函数必为常数。,作业 p38习题 1、2,39,本章小结,路径积分复变函数的积分可分解为2个线积分；一般情况下，积分与路径有关；柯西定理在单连通区域

7、内解析，则积分与路径无关，完全由起点和终点决定；在复连通区域内解析，则回路积分等于沿回路里所有内边界线积分之和。柯西公式,40,第三章 幂级数展开,复数项级数幂级数泰勒级数展开解析延拓罗朗级数展开孤立奇点的分类本章小结,41,3.1 复数项级数,部分和,1级数的定义,2级数收敛的必要条件,3绝对收敛,绝对收敛则一定收敛，收敛不一定绝对收敛。,42,4绝对收敛的判别,比值检验法,根值检验法,夹挤（逼）定理,43,5函数项级数,一致收敛,44,3.2 幂级数,1幂级数的形式,2幂级数的收敛半径,45,例 求收敛圆的半径，判断收敛圆上的敛散性：,作业 p46习题1（1）（4）（1）（3）,46,3.

8、3 函数的泰勒级数展开,1展开定理,设 在以 为圆心，为半径的圆 内解析，则：,展开式是唯一的；幂级数在 内收敛。,47,2应用举例,例1 在 附近展开,例2 在 附近展开,例3 在 附近展开,例4 在 附近展开,作业 p52（1）、（3）、（5）,48,一、解析延拓的含意 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。二、解析延拓的唯一性 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。,3.4 解析延拓,49,3.5 洛朗级数展开,一、负幂级数,二、双边幂级数,50,三、罗朗级数展开定理,若 在 内解析，则对该区域上任一点，函数可展开为,

9、洛朗展开具有唯一性；级数在环内解析，且收敛于；是级数的奇点，但不一定是 的奇点；展开系数,51,例1 级数展开，展开的中心点分别为0、2、3,例2 将函数在下列环域内展开为洛朗级数。,52,例3 在 的环域上将函数 展开为洛朗级数。,例4 在 的邻域上将函数 展开为洛朗级数。,53,例5 在 为中心把 展开为洛朗级数。,作业 p60（1）（5）（9）（13）,例6 在 为中心把 展开为洛朗级数。,54,3.6 孤立奇点的分类,1、可去奇点2、极点。单极点、m阶极点3、本性奇点,55,本章小结,复数项级数幂级数解析函数的泰勒展开罗朗级数展开孤立奇点可去奇点；(n阶)极点；本性奇点。,56,第四章

10、 留（残）数定理,留数定理留数定理的应用实变函数的定积分本章小结,57,4.1 留数定理,一、留数定理,58,二、留数的计算方法,方法一 孤立奇点的留数等于在该点邻域罗朗展开的负一次项的系数。,方法二（单极点）,方法三（m阶极点）,59,例 计算留数,60,解：奇点为,例 计算下列回路积分,61,作业 p71 习题1（6）（9）；2（3）,62,4.2 应用留数定理计算实变函数定积分,类型一 被积函数是三角函数的有理式,63,解：作变量替换,例,64,类型二 实变函数的无穷积分,在实轴上没有奇点；在上半平面只有有限个孤立奇点；当 时，,65,例,66,类型三 无穷积分 实轴上有单极点,67,例

11、,68,类型四 含三角函数的无穷积分,、在实轴上没有奇点；在上半平面只有有限个孤立奇点；为偶函数，为奇函数；时，,69,约当引理,x,70,例,71,例 计算菲涅耳积分,作业 p81 1（4）；2（5）；3（3）,72,例,73,本章小结,概念留数：回路积分留下的数；计算单极点：M阶极点：本性奇点：应用直接应用计算回路积分；间接应用计算三角有理式的积分；计算有理式的广义积分及其推广。,74,第五章 傅里叶变换,傅里叶级数傅里叶积分与傅里叶变换函数本章小节,75,5.1 傅里叶级数,一、三角函数的正交性,76,二、以2为周期的函数的傅里叶展开,77,三、任意周期的函数的傅里叶展开,78,奇函数与

12、偶函数的傅里叶展开,奇函数：,偶函数：,傅里叶正弦级数,傅里叶余弦级数,79,四、傅里叶级数的收敛性狄里希利定理,五、定义在有限区域上的函数的傅里叶级数展开,解析延拓,函数 满足条件：（1）处处连续；或一个周期中只有有限个第一类间断点；（2）一个周期中只有有限个极值点。则级数收敛，且,80,六、复数形式的傅里叶级数,作业：p91 1、2,81,5.2 傅里叶积分与傅里叶变换,一、实数形式的傅里叶变换,82,余弦部分为,83,傅里叶变换的有效性：傅里叶积分定理,若函数 满足条件：（1）在有限区域满足狄里希利条件；（2）在 区间绝对可积。则函数 可表为傅里叶积分，且,振幅谱与相位谱,84,对称形式

13、的傅里叶变换,85,例1 矩形函数 指的是,试将矩形脉冲 展为傅里叶积分。,86,例2 由2N个正弦波组成的有限正弦波系列,试将它展为傅里叶积分,87,奇函数与偶函数的傅里叶变换,奇函数：,偶函数：,傅里叶正弦积分,傅里叶余弦积分,88,二、复数形式的傅里叶变换,89,90,91,例 求矩形脉冲 的复数形式的傅里叶变换。,92,三、傅里叶变换的基本性质,（1）导数定理,（2）积分定理,（3）相似性定理,（4）延迟定理,93,（5）位移定理,（6）卷积定理,若，则,其中,称为 与 的卷积。,94,四、多重傅里叶变换,三位空间的非周期函数,95,对称形式：,96,例 p103习题1、4,作业 p1

14、04习题2、5,97,5.3 函数,一、函数的定义,98,1.函数的挑选性,定义在（-，）的任何一个连续函数,2.函数的原函数,称为阶跃函数或亥维赛单位函数。,是 的原函数；是 的导数。,二、函数的性质,99,3.是偶函数，它的导数是奇函数,4.,100,5.如果 的实根 全是单根，则,特例：,101,三、函数的导数,函数 满足：在 连续，并有连续导数,四、函数的傅里叶变换,102,五、函数的其它表述形式,103,六、多维函数,104,作业题：证明下列各式：,105,本章小结,106,107,第六章 拉普拉斯变换（简介）,拉普拉斯变换拉普拉斯变换的反演应用举例,108,6.1 拉普拉斯变换,一、拉普拉斯变换的定义,拉普拉斯变换存在的条件：,109,例 求,110,二、拉普拉斯变换的性质,（1）线性定理,（2）导数定理,例,（3）积分定理,111,（4）相似性定理,（5）位移定理,（6）延迟定理,（7）卷积定理,112,6.2 拉普拉斯变换的反演（逆变换）,一、有理分式的逆变换,二、查表,附录二 拉普拉斯变换函数表,三、黎曼-梅林反演公式,113,6.3 拉普拉斯变换应用举例,例 求解交流RL电路方程,解：,114,例 求解下列常微分方程,115,本章小结,