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1、第一章 矢量分析,主 要 内 容梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理1.标量场的方向导数与梯度2.矢量场的通量与散度3.矢量场的环量与旋度4.无散场和无旋场5.格林定理 6.矢量场的惟一性定理7.亥姆霍兹定理 8.正交曲面坐标系,标量：仅具有大小特征的量称为标量矢量：不仅具有大小而且有方向特征的量称为矢量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。矢量的的几何表示：一条有向线段,1-1 标量场的方向导数与梯度,矢量的大小或模：矢量的代数表示：矢量的单位矢量：模为1的矢量标量的空间分布构成标量场，矢量的空间分布构成矢量场常矢量（常矢）：矢量的大小及方向均与空间坐标无关注意：单位矢量不一定是常矢量。,1-2 矢量
2、的代数运算,矢量A=B：矢量A、B的大小及方向均相同时矢量加法：平行四边形法则矢量减法：三角形法则在直角坐标系中两矢量的加法和减法：矢量的加法运算，结合律和交换率结合律：（A+B）+C=A+（B+C）交换律：A+B=B+A,1-3 矢量的标积和矢积,标积（点积或内积），以点号“”表示,cos、cos、cos称为矢量A的方向余弦,在直角坐标系中，若矢量A和矢量B分别为矢量A和矢量B标积：则矢量A与矢量B的矢积的代数定义方向遵守右手螺旋法则,用坐标分量表示为,1-4 标量场的方向导数与梯度,标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。如果物理量是标量，称
3、该场为标量场。例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。,如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：静态标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为：,标量场的等值面,等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。等值面方程：标量场的等值线（面）,等值面的特点：常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。,方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该
4、点沿某一方向上的变化率例如标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导数 定义为,意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。0，沿 l方向增加 0，沿l方向减小=0，沿l方向无变化,特点：方向导数既与点P有关，也与 方向有关。是标量。问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？,在直角坐标系中，方向导数 可写为若矢量l的方向余弦为cos、cos、cos，则上式变为,令 为矢量G的三个坐标分量，即矢量l的单位矢量标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导数 定义为,矢量G称为标量场的梯度标量场的梯度是一个矢量场由 可知，当 的方向与梯度方向一致时，方向导数 取最大值。标量场在某点梯度的大小等于
5、该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。,若引入算符（哈密顿算子-重要的微分算子），它在直角坐标系中可表示为梯度可表示为,梯度的性质,标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）,梯度运算的基本公式,例1.2.1 设一标量函数(x,y,z)=x2y2z 描述了空间标量场。试求：(1)该函数 在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。(2)求该函数 沿单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1
6、,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。,解(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为,(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为,显然，梯度 描述了P点处标量函数 的最大变化率，即最大的方向导数，故 恒成立。,1-5 矢量场的通量、散度与散度定律,1、矢量场概念：设空间某一区域存在一矢量函数，它的大小及方向随空间位置变化（可能还是时间函数）。则称为该区域存在一矢量场：例：速度场，电场，磁场 2、矢量线 概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。该点附近曲线的疏密和该点矢量的大小成正比。,意
7、义：形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。问题：如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。,在讨论矢量场通量之前，先介绍有向面积元。规定该面积元的正法线方向为有向面积元：对于封闭曲面，约定其外法线为正法线方向,通量：矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲面 S 的通量，以标量 表示，即 通量可为正、或为负、或为零。,矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果,通过闭合曲面有净的矢量线穿出,有净的矢量线进入,进入与穿出闭合曲面的矢量线相等,有源称为正源 有洞称为负源 无源,由物理得知，真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量 q 与真空介
8、电常数 0 之比，即，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。,这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。,散度：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该点的散度，以 div A 表示，即式中，V 为闭合面 S 包围的体积。上式表明，散度是一个标量。,意义：矢量场穿过包围单位体积的闭合曲面的通量，又称通量密度。直角坐标系中散度可表示为因此散度
9、可用算符 表示为,高斯定理或者写为从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。,从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。,直角坐标系下散度表达式的推导,不失一般性，令包围P点的微体积V 为一直平行六面体，如图所示。则由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为,同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表式为,散度运算规则,例：已知点电荷q所产生的电场强度 求其在任何一点M处的散度。
10、,可见，除点电荷q所在位置(r=0)外，电场的散度处处为0。,1-6 矢量场的环量、旋度与旋度定理,1、矢量场的环流与涡旋源不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。,如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：上式建立了磁场的环流与电流的关系。,环量的概念,环量：矢量场 A 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场 A 沿该曲线的环量，以 表示，即可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场 A 的方向与线元 dl 的方向保持一致，则环量 0；若相反，则
11、 0。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。,如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。,由物理学得知，真空中磁感应强度 B 沿任一闭合有向曲线 l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁导率 0 的乘积。即 右手螺旋环量表示能产生旋涡场的源的强度，但代表的是闭合曲线内总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。,2.矢量场的旋度（1）环流面密度过点M 作一微小曲面S，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向n与曲线的
12、绕向成右手螺旋法则。当S0时，极限称为矢量场在点M 处沿方向n的环流面密度。特点：其值与点M 处的方向n有关。,在直角坐标系中 表达式,推导 的示意图如图所示,所以，故同理,（2）矢量场的旋度旋度：旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量 A 的旋度，则其方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即物理意义：旋涡源密度矢量。,在直角坐标系中：用算符 表示为,旋度运算规则 矢量场的旋度的散度恒为零 标量场的梯度的旋度恒为零,从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即Stokes定理是闭合曲线积分
13、与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用,大小相等方向相反，结果抵消,散度和旋度的区别,1-7无旋场与无散场,1、矢量场的源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；,旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。,2、矢量场按源的分类仅有散度源而无旋度源的矢量场性质 线积分与路径无关，是保守场无旋场可以用标量场的梯度表示为任一标量场的梯度
14、的旋度一定等于零例如：静电场,仅有旋度源而无散度源的矢量场，即性质无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如：恒定磁场,（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分,无旋场部分,无散场部分,1-8 拉普拉斯算符与格林定理,1、拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算概念：拉普拉斯算符直角坐标系中：拉普拉斯既可以对标量进行计算也可以对矢量进行计算,设任意两个标量场 及，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场 及 满足下列等式（1-8-1）式中S 为包围V 的闭合曲面，为标量场 在 S 表面的外法线 en 方向上的偏导数根据
15、方向导数与梯度的关系，上式右端又可写成,（1-8-1）可写为（1-8-3）（1-8-1）或（1-8-3）称为标量第一格林定理若将与对调，显然等式仍然成立将（1-8-1）与上式相减，得,此式又可写成这就是第二标量格林定理,设任意两个矢量场 P 与 Q，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场 P 及 Q 满足下列等式式中S 为包围V 的闭合曲面，面元 dS 的方向为S 的外法线方向，上式称为矢量第一格林定理。,将上式的P 与 Q 对调，再与上式相减，得到下列等式此式称为第二矢量格林公式无论何种格林定理，都是说明区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可
16、以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。,1-9 矢量场的惟一性定理,位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。,1-10 亥姆霍兹定理,若矢量场 F(r)在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，源分布在有限区域 V 中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场 F(r)可以表示为 其中,可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。亥姆霍兹定理说明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。,1-11 正交曲面坐标系,1、直角坐标系,2、柱坐标系,3、球坐标系,
