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1、6.3 管网水力计算方程的解法,求解管网水力计算一般方程组的数值计算方法很多，在此仅介绍工程上常用的几种方法。,6.3.1 环方程的解法 环方程最常用的算法是哈代克罗斯（Hardy Cross）法。以图6-3所示的两环管网为例。两环管网环方程为：,图6-3 两环管网的校正流量计算,将上式按二项式定理展开，整理后得环的方程如下：令：得：,小知识：二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿于1664、1665年间提出。,同理，可得环的类似方程。因此，可得下列线性方程组 上式亦可写成：,每环校正流量由两部分组成，一部分是消除本环闭合差的校正流量，另一部分是受到邻环影响的校正流量，即括号内的后几项。
2、若忽略邻环校正流量的影响，则有：,每环校正流量的计算通式：当 时，校正流量的计算通式为，注意：与 的符号相反。,根据计算校正流量调整管段流量后，再进行计算，通常各环闭合差会减小，若仍然不符合精度要求，则按式（6-30）或（6-31）计算新的校正流量，继续计算，直到满足闭合差精度要求为止。在以上计算过程中，闭合差可能会改变符号，有时闭合差的绝对值甚至可能增大，原因是推导校正流量公式时忽略了高阶项及各环相互影响。,哈代-克罗斯法求解环方程的步骤为：（1）根据管网的用水情况，拟定各管段的水流方向，按照连续性方程初步分配各管段流量，得初分管段流量。（2）根据，计算各管段摩阻 和水头损失。（3）计算各环
3、闭合差。若,则停止计算。否则，需进行下一步计算。,（4）计算各环内每根管段的，求，并按下式计算。（5）根据校正流量调整各管段流量值，得：按照调整后的管段流量值返回第（2）步，反复计算，直到闭合差全部满足精度要求为止。,6.3.2 节点方程的解法 节点方程法是管网水力电算最常用的一种方法。该法计算准备工作少，收敛性好，通用性强，使用方便。下面介绍节点方程的哈代-克罗斯解法。如图6-3所示两环管网，可写出下列节点方程:,若 为已知，初定节点水压值，计算出各管段水头损失，得各节点所有流量的代数和 为:,若，需要调整初定的节点水压。设各节点水压校正值分别为，代入节点方程,得:,上式的未知量为H1 H5
4、，理论上可以求得。如何求？,求 对 的一阶偏导数，得:,将 按泰勒级数展开，仅保留线性项，得,小知识：泰勒级数的概念若函数f（x）在点 的某一临域内具有直到（n+1）阶导数，则在该邻域内f（x）的n阶泰勒公式为：其中：，称为拉格朗日余项。以上函数展开式称为泰勒级数。,可以看出，式中右边第一项为i节点的流量闭合差。右边第二项为未知的i节点的水压校正值。其余各项表示相邻管段的 与相邻节点水压校正值的乘积。哈代-克罗斯法忽略相邻节点的影响，得到任一节点水压校正值的简化公式为：,当 时，上式变为：注意：与 符号相反，表示初定的节点水压偏大，反之偏小。求出各节点的水压校正值后，调整初定的节点水压，再计算
5、各管段水头损失、管段流量及各节点的流量闭合差。,哈代-克罗斯法求解节点方程的算法步骤：（1）根据管网供水方向及已知节点的节点水压，拟定各节点水压的初值。（2）计算各管段水头损失、管段流量。（3）计算各节点的流量闭合差，若 不能满足精度要求，令（为迭代次数）。,（4）计算各节点的水压校正值。（5）调整初定的节点水压值，。（6）计算、及，若所有，则 即为所求；否则令，返回（4），重复上述计算。,6.3.3 管段方程的解法 通常采用线性理论法求解。线性理论法是指将L个非线性的能量方程转化成线性方程。设初分管段流量为，1，2，P，令管段水头损失近似等于：式中 则管段方程变成 个线性方程组。将线性方程化
6、成迭代式，1，2，P，,具体可以写成,因初分管段流量一般不满足能量方程要求，需要调整。先计算，并根据迭代式计算，取，若所有（迭代精度），即为所求。否则按 计算，取，迭代计算计算，如此反复计算，直到 为止。,6.4 树状管网水力计算,树状管网计算步骤：（1）确定各管段计算流量；（2）计算干线：a.确定干线管径;b.计算干线水头损失、各节点水压；（3）计算支线:a.确定支线管径;b.计算支线水头损失和节点水压,例题 某城镇居住区用水人口为4万人，最高日用水量定额为150 L/(人.d)，大部分房屋建筑为4层或4层以下。在节点7附近,有一用水量较大的工厂，最高日用水量为480m3/d，二班制。城镇地
7、形平坦，地面标高均为29.20m，管网布置如图6-6所示，试按最高日最高时用水量确定该城镇供水管网管径并进行管网水力计算。,图6-6 树状管网水力计算,解 1.最高日最高时用水量居住区生活用水量 工厂用水量 若浇洒道路、绿化用水量:100m3/h未预见水量、漏失水量:按上述用水量的10%，则:若Kh取1.5，则：,2.沿线流量与节点流量管线计算长度管线比流量为：求沿线流量和节点流量，结果如表6-6、表6-7所示。,表6-1 沿线流量计算,表6-2 节点流量计算,3.管段流量计算,4干线管径的确定,5.干 线 水 头 损 失 计 算,6.干线上各节点水压:节点4：29.2+20=49.20m；节
8、点3：49.20+1.38=50.58m；节点2：50.58+1.79=52.37m；节点1：52.37+1.38=53.75m；水塔t：53.75+1.63=55.38m。,7支线管径的确定 各支线允许的水力坡度：,设管材采用钢筋混凝土管或内壁喷涂了水泥砂浆的球墨铸铁管，则有：,用同样的方法，可确定管段1-5、5-6和6-7的管径，结果如表6-11所示。,支线管径 的确定,8.支 线 水 头 损 失 计 算,支线上节点水压:节点5：53.75-2.03=51.72m节点6：51.72-0.65=51.07m节点7：51.07-0.50=50.07m节点8：52.37+2.04=54.41m二
9、级泵站扬程应为：思考题：能否按另一种方法确定树状管网的管径?,9二级泵站扬程与水塔高度的确定水塔柜底高度应为：,6.4 管网水力计算方程的解法,求解管网水力计算一般方程组的数值计算方法很多，在此仅介绍工程上常用的几种方法。,6.4.1 环方程的解法 环方程最常用的算法是哈代克罗斯（Hardy Cross）法。以图6-3所示的两环管网为例。两环管网环方程为：,图6-3 两环管网的校正流量计算,将上式按二项式定理展开，整理后得环的方程如下：令：得：,同理，可得环的类似方程。因此，可得下列线性方程组 上式亦可写成：,每环校正流量由两部分组成，一部分是消除本环闭合差的校正流量，另一部分是受到邻环影响的
10、校正流量，即括号内的后几项。若忽略邻环校正流量的影响，则有：,每环校正流量的计算通式：若 时，校正流量的计算通式为，注意：与 的符号相反。,根据计算校正流量调整管段流量后，再进行计算，通常各环闭合差会减小，若仍然不符合精度要求，则按式（6-30）或（6-31）计算新的校正流量，继续计算，直到满足闭合差精度要求为止。在以上计算过程中，闭合差可能会改变符号，有时闭合差的绝对值甚至可能增大，原因是推导校正流量公式时忽略了高阶项及各环相互影响。,综上所述，可知哈代-克罗斯法求解环方程的步骤为：（1）根据管网的用水情况，拟定各管段的水流方向，按照连续性方程初步分配各管段流量，得初分管段流量。（2）根据，
11、计算各管段摩阻 和水头损失。（3）计算各环闭合差。若,则停止计算。否则，需进行下一步计算。,（4）计算各环内每根管段的，求，并按下式计算。（5）根据校正流量调整各管段流量值，得：按照调整后的管段流量值返回第（2）步，反复计算，直到闭合差全部满足精度要求为止。,6.4.2 节点方程的解法 节点方程法是管网水力电算最常用的一种方法。该法计算准备工作少，收敛性好，通用性强，使用方便。下面介绍节点方程的哈代-克罗斯解法。如图6-3所示两环管网，可写出下列节点方程:,若 为已知，初定节点水压值，计算出各管段水头损失，得各节点所有流量的代数和 为:,若，需要调整初定的节点水压。设各节点水压校正值分别为，代
12、入节点方程,得:,上式的未知量为H1 H5，理论上可以求得。问题是如何求？,求 对 的一阶偏导数并整理后得:,将 按泰勒级数展开，且仅保留线性项，得,可以看出，式中右边第一项为i节点的流量闭合差。右边第二项为未知的i节点的水压校正值。其余各项表示相邻管段的 与相邻节点水压校正值的乘积。哈代-克罗斯法忽略相邻节点的影响，得到任一节点水压校正值的简化公式为：,当 时，上式变为：注意：与 符号相反，表示初定的节点水压偏大，反之偏小。求出各节点的水压校正值后，调整初定的节点水压，再计算各管段水头损失、管段流量及各节点的流量闭合差。,哈代-克罗斯法求解节点方程的算法步骤：（1）根据管网供水方向及已知节点
13、的节点水压，拟定各节点水压的初值。（2）计算各管段水头损失、管段流量。（3）计算各节点的流量闭合差，若 不能满足精度要求，令（为迭代次数）。,（4）计算各节点的水压校正值。（5）调整初定的节点水压值，。（6）计算、及，若所有，则 即为所求；否则令，返回（4），重复上述计算。,6.4.3 管段方程的解法 通常采用线性理论法求解。线性理论法是指将L个非线性的能量方程转化成线性方程。设初分管段流量为，1，2，P，令管段水头损失近似等于：式中 则管段方程变成 个线性方程组。将线性方程化成迭代式，1，2，P，,具体可以写成,因初分管段流量一般不满足能量方程要求，需要调整。先计算，并根据迭代式计算，取，若所有（迭代精度），即为所求。否则按 计算，取，迭代计算计算，如此反复计算，直到 为止。,小知识：二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿于1664、1665年间提出。,小知识：泰勒级数的概念 若函数f（x）在点 的某一临域内具有直到（n+1）阶导数，则在该邻域内f（x）的n阶泰勒公式为：其中：，称为拉格朗日余项。以上函数展开式称为泰勒级数。,
