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1、第二章 初等模型(下),2.5最短路径,例1（最短路径问题）,设有一个半径为 r 的圆形湖，圆心为 O。A、B 位于湖的两侧，AB连线过O，见图。现拟从A点步行到B点，在不得进入湖中的限 制下，问怎样的路径最近。,以上只是一种猜测，现在来证明这一猜测是正确的。为此，先介绍一下凸集与凸集的性质。,下面证明猜想,猜测证明如下：,还可用微积分方法求弧长，根据计算证明满足限止条件的其他连续曲线必具有更大的长度；此外，本猜测也可用平面几何知识加以证明等。,到此为止，我们的研讨还只局限于平面之中，其实上述猜测可十分自然地推广到一般空间中去。1973年，证明了以上结果：,例2 一辆汽车停于 A处并垂直于AB
2、方向，此汽车可转的最小圆半径为 R，求不倒车而由 A到B的最短路径。,例3 驾驶一辆停于A处与AB成1角度的汽车到B处去，已知B处要求的停车方向必须 与 AB成2角，试找出最短路径（除可转 的最小圆半径为R外，不受其他限止）。,2.6 方桌问题,例4 将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，不 允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转，是否总能设法使其四条腿同时落地？,不附加任何条件，答案 显然 是否定的，,现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、C的初始位置在x轴上，而B、D则在y轴上，当方桌绕中
3、 心0旋转时，对角线 AC与x轴的夹角记为。容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 f()为A、C离地距离之和，g()为B、D离地距离之和，它们的值 由唯一确定。由假设（1），f()、g()均为的连续函数。又 由假设（3），三条腿总能同时着地，故f()g()=0必成立（）。不妨设f(0)=0,g(0)0（若g(0)也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：,2.7 赛艇成绩的比较(比例模型),例5 八人赛艇比赛和举重比赛一样，分成86公斤的重量级和 73公斤的轻量级。1971年，比较了1964-1970年期间两次奥运会和两次世锦赛
4、成绩，发现 86公斤级比73公斤级的成绩大约好5%，产生这一差异的原因何在呢？,考察优秀赛艇选手在比赛中的实际表现可以发现，整个赛程大致可以分三个阶段，即初始时刻的加速阶 段、中途的匀速阶段和到达终点的冲刺阶段。由于赛程较长，可以略去前后两段而只考虑中间一段，为此，提出以下建模假设。,比赛成绩,可知,故,令WH=86,WL=73,则有由于SL略小于SH，故轻量级所花时间比重量级所花时间约 多5%左右。,2.8 参数识别,例6 录像带还能录多长时间,例6 录像机上有一个四位计数器，一盘 180分钟的录像带在开始计数时为 0000，到结束时计数为1849，实际走时为185分20秒。我们从0084观
5、察到0147共用时间3分21秒。若录像机目前的计数为1428，问是否还能录下一个 60分钟的节目？,又 因和 得,积分得到,即,从而有,此式中的三个参数、v和r均不易精确测得，虽然我们可以从上式解出t与n的函数关系，但效果不佳，故令 则可将上式简化为：,t=an2+bn,上式以a、b为参数显然是一个十分明智的做法，它为公式的最终确立即参数求解提供了方便。将已知条件代入，得方程组：,从后两式中消 去t1，解得a=0.0000291,b=0.04646,故t=0.0000291 n2+0.04646n，令n=1428，得到t=125.69（分）由于一盒录像带实际可录像时间为185.33分，故尚可录像时间 为59.64分，已不能再录下一个60分钟的节目了。,
