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1、向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,一、向量的概念,或,或,或,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,平行向量：,平行于同一直线的两个(或多个)向量(同向或反向).记为,共面向量：,平行于同一平面的三个(或多个)向量.,而两个向量必定共面.,1 加法：,(i).两向量相加:如图示,称为平行四边形法则,或称三角形法则.,二、向量的加减法,(ii).多个向量相加:如图示,称为多边形法则.,向量的加法符合下列运算规律：,（1）
2、交换律：,（2）结合律：,（3）,2 减法,三角不等式：,三、向量与数的乘法,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,两个向量的平行关系,按照向量与数的乘积的规定，,例1 化简,解,例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.,证,结论得证.,空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,四、向量在轴上的投影与投影定理,空间一点在轴上的投影,空间一向量在轴上的投影,关于向量的投影定理（1）,定理1的说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4)相等向量在同一轴上投影相等；,关于向量的投影定理（2）,（可推广到有限多个）,五、向量的坐标表示,设,其中各分量为相应向量在三坐标轴上的投影.,向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,通常也表示,解,由题意知：,非零向量 的方向角：,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,六、向量的模与方向余弦的坐标表示式,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向.,向量模长的坐标表示式,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,方向余弦的特征,特殊地：单位向量的方向余弦为,解,所求向量有两个，一个与 同向，一个反向,还有,解,解,思考题,思考题解答,对角线的长为,
