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1、第五章 留数,5.1 孤立奇点,1.定义,2.分类,3.性质,4.零点与极点的关系,5.函数在无穷远点的状态,1.定义,例如,-z=0为孤立奇点,-z=0及z=1/n(n=1,2,)都是它的奇点,-z=1为孤立奇点,这说明奇点未必是孤立的。,2.分类,以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：,特点：,没有负幂次项,特点：,只有有限多个负幂次项,特点：,有无穷多个负幂次项,定义 设z0是f(z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内，若f(z)的洛朗级数,没有负幂次项，称z=z0为可去奇点;,只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 阶极点;,有无穷
2、多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。,3.性质,若z0为f(z)的可去奇点,若z0为f(z)的m(m 1)阶极点,例如：,z=1为f(z)的一个三阶极点，z=i为f(z)的一阶极点。,若z0为f(z)的本性奇点,4.零点与极点的关系,定义 不恒等于0的解析函数f(z)如果能表示成,例如：,定理,事实上，,必要性得证！,充分性略！,例如,定理:,证明,“”若z0为f(z)的m 阶极点,例,解显然，z=i 是(1+z2)的一阶零点,综合,5.函数在无穷远点的状态,定义,规定,1.留数的定义 2.留数定理 3.留数的计算规则 4.在无穷远点的留数,5.2 留数(Residue),1.留数的定义,定义
3、设 z0 为 f(z)的孤立奇点，f(z)在 z0 邻域内的洛朗级数中负幂次项(z-z0)1 的系数 c1 称为f(z)在 z0 的留数，记作 Res f(z),z0 或 Res f(z0)。,由留数定义,Res f(z),z0=c1(1),2.留数定理,定理,证明,由复合闭路定理得：,用2i 除上式两边得:,得证！,求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立奇点的留数。,一般求 Res f(z),z0 是采用将 f(z)在 z0 邻域内展开成洛朗级数求系数 c1 的方法,但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利。,以下就三类孤立奇点进行讨论：,3.留数的计算规则,规则I,规则II,事实上，由
4、条件,当m=1时，式(5)即为式(4).,规则III,事实上，,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,故由留数定理得：,(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则。,如,是f(z)的三阶极点。,-该方法较规则II更简单！,(2)由规则II 的推导过程知，在使用规则II时，可将 m 取得比实际级数高，这可使计算更简单。,如,3.在无穷远点的留数,定义,由此得,定理如果 f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点（包括无穷远点），那么f(z)在 所有孤立奇点 的留数和等于零。,5.3 留数在定积分计算上的应用,在数学分析中，以及许多实际问题中，往往要求计算出一些定积分或反常积分的值，
5、而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；例如,或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常复杂，例如,（2）利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论；,利用留数计算积分的特点：（1）利用留数定理，我们把计算一些积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简了计算；,解：令,因此,显然,因此被积函数在|z|1内只有一个极点z1，而它在这点的留数是：,于是求得,结论1.计算形如,的积分，其中R(x,y)是有理分式，并且在圆C:|z|=1上，分母不等于零时可得：,例2.计算积分,解：首先，这是一个广义积分，它显然是收敛的.我们应用留数定理来计算它.
6、考虑函数,这个函数有两个二阶极点，在上半平面上的一个是z=i.作以O为心、r为半径的圆盘.,其中 表示Cr上的圆弧部分，沿它的积分是按幅角增加的方向取的.,现在估计积分,我们有,因此,令，就得到,结论2.应用同样得方法，我们可以计算一般形如,的积分，其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次.,例3.计算积分,解：取r0，则有,函数 在,时有一阶极点z=i外，在其他每一点都解析,取积分区域如图，而只要取r1.于是我们有,于是我们有,其中 表示Cr 上的圆弧部分，沿它的积分是按幅角增加的方向取的.,结论3.应用同样得方法，我们可以计算一般形如,的积分，其中R
7、(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高1次.,其中R(x,y)是有理分式，并且在圆C:|z|=1上，分母不等于零.,结论1：,其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次.,结论2：,其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高1次.,结论3：,练习.计算下列积分.,例4.计算积分,函数 只是在z=0有一个一阶极点.,解：取，使,于是我们有,的积分分别是按幅角减小与增加的方向取的.,现在求当 趋近于0时，的极限.,其中h(z)是在z=0的解析函数.因此,由于，h(z)在z=0的解析，在z=0的一个邻域内，|h(z)|有上界,当 时,于是当 充分小时,从而,令，应用结论3的推导过程，可以得到所求积分收敛，并且,本章作业,1.（3），（5），（9）；8.（3），（5），（6），（7）；9.（1），（2），（5）；10.（2），（3）；11.（1）；12.（1）；13.（1），（4），（5）.,类型1：,类型2：,类型3：,例1.在扩充复平面讨论下列函数奇点类型.,例2.计算.,例3.计算.,解：,例4.判定下列级数的敛散性.,解：,例5.将下列函数在给定点展开成幂级数.,解：,
