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*3 复变量的指数函数ex欧拉公式,设有复数项级数,以 Sn 表示(1)的第n个部分和,并记,则有,若用A,B,分别记这两个极限值,则级数(1)的和为A+iB.据此,级数(1)收敛的充要条件是:级数,都收敛.,级数(1)各项 un 的模为,若级数,收敛,则称级数(1)绝对收敛.由关系式,可证得:若级数(1)绝对收敛,则级数(1)必收敛.,在点z0收敛.所有使级数(3)收敛的全体复数构成复,数项幂级数(3)的收敛域.,记,这时和1实数项幂级数一样可证得:级数(3)对一,切满足,原点为中心,R为半径的圆.,例如级数,由于,故级数(4)的收敛半径,即(4)在整个复平面,上都是收敛的,当 z 为实变量x时,(4)的和函数为实,用同样的方法可定义复变量的正弦函数与余弦函,数:,它们的收敛域都是整个复平面.,以iz代替(5)式中的z,可得,联系(6)与(7)式,就有,当z为实变量 x 时,则得,它称为欧拉公式.这个公式给出了(实变量)指数函,数与三角函数之间的关系.,得复数的指数形式,与实幂级数一样,由级数的乘法运算可得,
