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1、1,一阶线性微分方程,第四节,一、一阶线性微分方程,二、伯努利方程,第七章,2,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x)0,称为非齐次方程.,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程;,3,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,4,例1.解方程,解:先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,5,例2.求方程,的通解.,解:注意 x,y 同号,由一阶线性方程通解公式,得,故方程可,变形为,所求通解为,6,在闭合回路中
2、,所有支路上的电压降为 0。,例3.有一电路如图所示,电阻 R 和电,解:列方程.,已知经过电阻 R 的电压降为R i,经过 L的电压降为,因此有,即,初始条件:,由回路电压定律:,其中电源,求电流,感 L 都是常量,7,解方程:,利用一阶线性方程解的公式可得,由初始条件:,得,8,因此所求电流函数为,解的意义:,9,二、伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),10,例4.求方程,的通解.,解:令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解:,11,例5 用适当的变量代换解下列微
3、分方程:,解,所求通解为,12,解,分离变量法得,所求通解为,13,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,14,内容小结,1.一阶线性方程,方法1 先解齐次方程,再用常数变易法.,方法2 用通解公式,化为线性方程求解.,2.伯努利方程,15,思考与练习,判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,一阶线性方程,一阶线性方程,伯努利方程,16,备用题,1.求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,利用公式可求出,练习：求微分方程,满足条件,的解。,17,2.设有微分方程,其中,试求此方程满足初始条件,的连续解.,解:1)先解定解问题,利用通解公式,得,利用,得,
4、故有,18,2)再解定解问题,此齐次线性方程的通解为,利用衔接条件得,因此有,3)原问题的解为,19,练习,1.求微分方程,满足条件,的解。,2.求微分方程,的通解。,3.求微分方程,满足条件,的解。,4.求微分方程,满足条件,的解。,20,5.求微分方程,6.求微分方程,满足条件,的特解。,的特解。,7.过点,且满足关系式,的曲线方程为,6.,8.设,是微分方程,；原方程满足条件,的一个解，则,的特解为：,21,9.设曲线,上任一点,位于,平面的第一象限内，,的切线与,轴总相交，交点为,已知,且,过点,，求曲线 的方程。,10.设曲线,，已知,是可导函数，且,曲线,与直线,所围成的曲边梯形绕
5、,轴旋转一周所得的立体体积,值是该曲边梯形面积值的,倍，求该曲线方程。,及,22,练 习 题,23,24,25,练习题答案,26,27,(雅各布第一 伯努利),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外,他对,双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.,28,全微分方程,第五节,一、全微分方程,二、积分因子法,第十二章,2
6、9,判别:,P,Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数,为全微分方程,则,求解步骤:,方法1 凑微分法;,方法2 利用积分与路径无关的条件.,1.求原函数 u(x,y),2.由 d u=0 知通解为 u(x,y)=C.,一、全微分方程,则称,为全微分方程(又叫做恰当方程).,30,例1.求解,解:因为,故这是全微分方程.,则有,因此方程的通解为,31,例2.求解,解:,这是一个全微分方程.,用凑微分法求通解.,将方程改写为,即,故原方程的通解为,或,32,二、积分因子法,思考:如何解方程,这不是一个全微分方程,就化成例2 的方程.,使,为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到,为原方程的积分因子.,但若在方程两边同乘,若存在连续可微函数,积分因子.,33,常用微分倒推公式:,积分因子不一定唯一.,例如,对,可取,34,例3.求解,解:分项组合得,即,选择积分因子,同乘方程两边,得,即,因此通解为,即,因 x=0 也是方程的解,故 C 为任意常数.,35,备用题 解方程,解法1 积分因子法.,原方程变形为,取积分因子,故通解为,此外,y=0 也是方程的解.,36,解法2 化为齐次方程.,原方程变形为,积分得,将,代入,得通解,此外,y=0 也是方程的解.,37,解法3 化为线性方程.,原方程变形为,其通解为,即,此外,y=0 也是方程的解.,
