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1、1 矩阵及其运算,一、矩阵的定义,例1 设某物质有m个产地，n个销地，如果以 aij 表示由第 i 个产地销往第 j 个销地的数量，则这类物质的调运方案，可用一个数表表示如下：,1.实际例子,销地,销量,产地,1,2,j,n,记,例2 解线性方程组,代替：,由mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)有次序地排成m行(横排)n列(竖排)的数表,称为一个m行n列的矩阵，简记(aij)mn，通常用大写字母A，B，C，表示，m行n列的矩阵A也记为Amn，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而aij表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。,2.定义,注意：,(1)只有一行的矩阵 A1n=(a1 a
2、2 an)称为行矩阵,(2)两个矩阵A、B，若行数、列数都相等，则称A、B是同型的。,(3)若 A=(aij)mn,B=(bij)mn是同型的，且 aij=bij(i=1,2,m;j=1,2,n)则称A与B相等，记作AB。,(4)元素全为0的矩阵称为零矩阵，记作O，不同型的零矩阵是不相等的。,二、矩阵的运算,设 A=(aij)mn,B=(bij)mn,则矩阵 C=(cij)mn=(aij+bij)mn,称为矩阵A与B的和，记作 C=A+B,1.矩阵的加法,(1)定义,设 A，B，C，O 都是 mn 矩阵,(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=O+A=A,(2
3、)性质,2.矩阵的减法,(1)负矩阵,设 A=(aij)mn,则称,(aij)mn 为A的负矩阵，简记A,显然,A+(A)=O,(A)=A,(2)减法：,设 A=(aij)mn,B=(bij)mn,AB=A+(B)=(aij bij)mn,记为 A，即,设是常数，A=(aij)mn，,3.数与矩阵的乘法,(1)定义,设 A、B 为 m n 矩阵，、u为常数,(1)(u)A=(u A)=u(A);,(2)(A+B)=A+B,(3)(+u)A=A+u A,(2)性质,例3：,设,求A2B,解：,设 A=(aij)ms,B=(bij)sn,其中Cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和,(i
4、=1,2,m;j=1,2,n),4.矩阵的乘法,(1)定义,例4：设矩阵,求乘积 AB 和 BA,解：,注：AB BA 即矩阵乘法不满足交换律,例 5：设,试证：(1)AB=0；(2)AC=AD,证：,(1),(2),故AC AD,比较：,(1)在数的乘法中，若ab=0 a=0 或 b=0,两个非零矩阵乘积可能为O。,(2)在数的乘法中，若ac=ad，且a 0 c=d(消去律成立),在矩阵乘法中，若AC=AD，且A O C=D(消去律不成立),(1)(A B)C=A(B C),(2)A(B+C)=A B+A C,(3)(B+C)A=B A+C A,(4)(A B)=(A)B=A(B)(其中 为
5、常数),(2)性质,5.线性方程组的矩阵表示,设方程组为,可表示为,简记为,AXB。,A称为由线性方程组的系数矩阵。,将矩阵 A mn 的行换成同序数的列，列换成同序数的行所得的 nm 矩阵称为A的转置矩阵，记作 AT 或 A。,例如：,则,6.矩阵的转置,(1)定义,(1)(AT)T=A,(2)(A+B)T=A T+B T,(3)(A)T A T,(2)性质,例6：,设,求(A B)T。,解法一：,(A B)T=B T A T,解法二：,三、方阵,1.定义,则：,(其中：k,l均为正整数),行数与列数相同的 n n 矩阵 A 称为方阵，n 称为它的阶数，简记 An。,称为n阶单位矩阵，简记E
6、,显然,1.单位矩阵,2.几类特殊方阵,2.对角矩阵,结论：,(2)k为正整数时,3.上三角矩阵,下三角矩阵,4.对称矩阵,(1)若方阵A满足 AT=A，即 aji=aij，则称A为对称矩阵。,(2)若方阵A满足 AT=A，即 aji=aij，则称A为反对称矩阵。这时 aii=0(i=1,2,n),例7：设A为任一方阵，证明:A+AT为对称阵，AAT 为反对称阵,(1)方阵 A 对应的行列式记为|A|或 det A,若|A|0，则称方阵 A 是非奇异(非退化)的，否则，称 A 是奇异(退化)的。,3、比较方阵与行列式,(2)|A|=n|A|,(3)|A B|=|A|B|,(3)|A B|=|A
7、|B|,例如：,有,而,(4)|A m|=|A|m,|A 1 A 2 A m|=|A 1|A 2|A m|,推广：,四、分块矩阵,如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵A分成若干小块，这样的小块称为矩阵A的子块或子矩阵，而A可以看成是以子块为元素的矩阵，称A为分块矩阵。,1.定义,例如：,A11,A12,A21,A22,例8：设,利用分块矩阵求 A+B，AB。,解：将A、B分块成,则,而,而,故,考察：AT,对于,2.分块矩阵的转置,注：设矩阵A=(aij)mn 分块为,则,若方阵A除主对角线上的子块外，其余子块都为O，且主对角线的子块均为方阵，,则称A为准对角矩阵。,3.准对角矩阵,定义：,
8、例如：,为准对角矩阵。,准对角矩阵与对角矩阵有类似的性质,例如：,(Ai 为方阵，i=1,2,，m),2 矩阵的初等变换,一、矩阵的初等变换,定义 1,对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换,(1)互换两行(记作 ri rj);,(2)以数 0 乘以某一行(记作 ri);,(3)将第 j 行各元素乘以数后加到第 i 行的对应元素上去(记作 ri+rj),相应地，矩阵的三种初等列变换的记号只需将 r 换成 c。,二、初等矩阵,定义2,由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。,(1)ri rj,ci cj 也得到 P(i,j),(2)ri,ci 也得到 P(i(),0,0,第
9、i 行,(3)ri+rj,cj+ci 也得到 P(i,j(),定理1,对A施行一次初等行变换，相当于在A的左侧乘以一个相应的初等矩阵；,对A施行一次初等列变换，相当于在A的右侧乘以一个相应的初等矩阵；,例如：,设A是一个 m n 矩阵,(1),A,P(1,2)A,(2),A,A P(3,4),三、矩阵的秩,1.k 阶子式,定义3,设 A 为 mn 矩阵，在 A 中任取 k 行 k 列(1 k min(m,n)，由这 k 行，k 列的交叉处的 k2 个元素(按原来的前后顺序)所构成的 k 阶行列式，称为矩阵A的一个 k 阶子式。,例如：,一个2阶子式,例如：,一个2阶子式,一个3阶子式,(1)A
10、 的每个元素 aij 都是 A 的一个一阶子式,(2)当 A 为 n 阶方阵时，n 阶子式即为|A|,注：,2.矩阵的秩,r(A)=3,定义4,矩阵A的不为0的子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记为r(A)。,(显然 r(A)min(m,n),规定：,注：,(1)非奇异矩阵A，有|A|0，A的秩就等于它的阶数，A又称为满秩矩阵。,(2)奇异矩阵A，也称为降秩矩阵。,定理2 若矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为0，而所有 k+1 阶子式全为0，则 r(A)=k。,零矩阵的秩为0，即 r(O)=0,3.初等变换求矩阵的秩,定理4.3 对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变,例：,阶梯形,r(A)=3,A
11、,进一步：,A,称为A的标准形,注：若A为n阶满秩方阵，则A的标准形为n阶单位阵E。,3逆矩阵,一、逆矩阵的定义,定义1,AB=BA=E,则称 B 为 A 的逆矩阵，并称 A 可逆。,设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B,使,显然A 为B 的逆矩阵，即 A 与B 互为逆矩阵。,例如：,有,所以 B 是 A 的逆阵，同时 A 也是 B 的逆阵。,例1 设 a11 a22 ann 0,由于：,例2 若方阵 A1 A2 Am 均可逆，可证,定理1(唯一性),若方阵 A 的逆矩阵存在，则唯一，用 A1 表示,证：设B、C均是A的逆矩阵，则,B,所以A的逆矩阵唯一。,=BE,=B(AC),=(BA)C,
12、=EC,=C,矩阵,称为 A 的伴随矩阵,定义2:,设 A=(aij)nn,Aij 是|A|中元素 aij 的代数余子式(i,j=1,2,n);,二、矩阵可逆的条件,即：,定理2,方阵 A 存在逆矩阵,|A|,且,例3 求矩阵,的逆矩阵,解：,故 A 可逆，又,A115，A122，A212，A221,则,所以,比较：,(1)在数的乘法中，若ab=0 a=0 或 b=0,两个非零矩阵乘积可能为O。,(2)在数的乘法中，若ac=ad，且a 0 c=d(消去律成立),在矩阵乘法中，若AC=AD，且A O C=D(消去律不成立),例4设 A 是可逆阵，证明：,(1)若 A X=A Y X=Y,(2)若
13、 A B=0 B=0,证：,A1(A X)=A1(A Y),(A1 A)X=(A1 A)Y,EX=EY,X=Y,所以,(2),由 AB=0，有A1(AB)=A1 0,所以 B=0,(A1 A)B=0,(1)若A，B均为n阶方阵，且 A B=E(或 B A=E)，则 BA1,证：,|A|B|=|E|=1,|A|0,A1存在，且A1=A1E=A1(AB),=(A1A)B,=EB,=B,设 A B=E,同理可证 B A=E 的情形,三、逆矩阵的性质,(2)(A1)1=A,(4)若A，B 均为n阶可逆矩阵，则(AB)1=B1A1。,若A1，A2，Am均为n阶可逆矩阵，则(A1 A2 Am)1=Am1
14、A21 A11,推广：,证明：,因为(AB)(B1A1),=A E A1,=E,所以(AB)1=B1A1,=A(B B1)A1,这是因为|A1|A|=|E|=1,四、初等行变换求逆矩阵(方法二),1.初等矩阵都是可逆矩阵，且其矩阵仍然是初等矩阵,定理3 若方阵A可逆，则存在有限个初等矩阵 P1,P2,Pm,使 A=P1 P2 Pm,证：因为A可逆，则r(A)=n，标准形为En，,A=P1 P2 Pm,P1 P2 PsEPs+1 Pm=A,即,存在有限次初等变换使A化为En，,表示为：,A=P1 P2 Pm,E,A,E,A1,例4,设,求 A1.,解：,r1+r2,r3 r2,故,对 A 也可通
15、过初等列变换求 A1,A=P1 P2 Pm,注：,表示为：,E,A1,对于n元线性方程组,AX=B,五、逆矩阵的应用,1.解线性方程组,例5：解方程组,x1+2 x2+3 x3=1,2 x1+2 x2+x3=1,3 x1+4 x2+3 x3=3,解：方程组简记为,X=A1 B,由于|A|=2 0,A可逆，故,A X=B,其中,而,即 x1=8,x2=9,x3=3.,2、解矩阵方程,例6：解矩阵方程,解：矩阵方程简记为 A X=B,0,A1存在,例7 解矩阵方程 AX+E=A2+X,其中：,E 为三阶单位矩阵,解：由 AX+E=A2+X,即(AE)X=(A E)(A+E),得 AX X=A2 E,所以 AE 可逆.,故 X=A+E,(AE)X=(A E)(A+E),所以(AE)1(AE)X=(AE)1(A E)(A+E),
