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1、高等数学（上）第十六讲,第一章,主讲 杜潮河（教授）,第九节,闭区间上连续函数的性质,11.9 闭区间上连续函数的性质,定义1.设 f(x)在区间I上有定义.,若x0I,使xI.,有 f(x)f(x0),则称f(x0)为f(x)在I上的最大 值.,记作,闭区间上连续函数的性质,一、最大值和最小值定理,(或 f(x)f(x0),(或最小),例如,符号函数,定理1.,若f(x)在a,b上连续,则 f(x)在a,b上一定取得最大值和最小值.,注意,若f(x)在(a,b)上连续,或在闭区间内有间断点,则 f(x)在该区间上不一定取得最大值和最小值.,如f(x)=x在开区间(a,b)内是连续的,但在(a
2、,b)内既无,最大值又无最小值,又如f(x)=x-x在闭区间,内的x=1处不连续,在该区间上没有最大值,看图,定理2.若f(x)在a,b上连续,则f(x)在a,b上有界.,例2.,二、介值定理,定义:,定理3.(零点定理),若f(x)在a,b上连续.且 f(a)f(b)0.,则至少存在一点x0(a,b),看图.,定理1中的x0,就是方程 f(x)=0的根.,也称根的存在定理,使得 f(x0)=0.,定理4.(介质定理),若f(x)在a,b上连续.,则对于介于f(a)和 f(b)之间的任意一值c,看图.,且f(a)f(b),至少存在点x0(a,b),使得 f(x0)=c.,证:令F(x)=f(x)c.,则 F(x)在a,b上连续,且 F(a)F(b),由根的存在定理,至少存在x0(a,b),使得 F(x0)=f(x0)c=0.,c介于f(a)和 f(b)之间,=(f(a)c)(f(b)c),0,即,f(x0)=c.,推论.若f(x)在a,b上连续,则对任何满足 mc M的值c,x0a,b,使得f(x0)=c.,例3,证,由零点定理,三、小结,三个定理,有界性与最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意1闭区间；2连续函数这两点不满足上述定理不一定成立,作业 P77习题1-91、2、3、,结束,思考题,思考题解答,是它的可去间断点,
