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1、所围成的曲边梯形的面积 A 须经过以下四个步骤：,（2）近似代替：,（4）取极限：,（3）求和：,设第 i 个小曲边梯形的面积为,则：,定积分的元素法,3-5 定积分的若干应用,（2）A对于区间a,b具有可加性，即整个曲边梯形的面积等于 所有小曲边梯形面积的和。,在上面的问题中，所求的量面积A有如下性质：,（1）A是一个与变量x的区间a,b有关的量；,即：,（3）写出A的积分表达式，即：,求A的积分表达式的步骤可简化如下：,（1）确定积分变量x及积分区间a，b；,（2）在a,b上任取小区间,叫做面积元素,记为,即：,具体步骤是：,那么这个量就可以用积分来表示。,（3）写出 U 的积分表达式，即
2、：,（1）根据具体问题，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定 它的变化区间a,b；,这种方法叫做 定积分的元素法.,一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：,（1）U是与一个变量x的变化区间a，b有关的量；,（2）U对于区间a，b具有可加性；,1.平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.,(证明略),则称,(1)曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,积分区间为,(2)曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,(3)曲线弧由极坐标方程给
3、出:,平面极坐标系：,或,直角坐标系圆的方程：,极坐标系圆的方程：,直角坐标与极坐标的关系:,(3)曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分):,(自己验证),例1 计算旋轮线,一拱,的弧长.,解,解,上半椭圆周的方程为,弧微分为,则,椭圆积分.,它无论,在应用上还是在数学基础理论研究中，椭圆积分都有重要价值.,旋转体由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体这条直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,2.旋转体的体积,旋转体的体积公式,积分区间为,例3,解,分别绕y轴旋转所形成的旋转体体积之差.,补例 计算下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：
4、,解,解,3.旋转体的侧面积,设平面光滑曲线,求,积分后得旋转体的侧面积,它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.,积分区间为a,b,则侧,面积元素为：,侧面积元素,的线性主部.,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的,不是薄片侧面积S 的,注意:,侧面积为,旋转体的側面积为,例4 计算圆周,x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S.,解 对曲线弧,应用公式得,当球台高 h2R 时,得球的表面积公式,.曲线弧的质心与转动惯量,若平面上的一条光滑曲线弧，其参数方程是,线密度为，,弧 的质量近似为,这段弧关于和轴的静力矩分别是：,弧微分,其总质量为,所以整个曲线弧的质心的
5、坐标为,质量为的质点绕一固定轴旋转的转动惯量为,其中是质点到固定轴的距离，所以,因此，整个弧对x 轴与y轴的转动惯量分别是,5.平面图形的面积,平面直角坐标下图形的面积,(1)由曲线,与直线,及 x 轴所围曲,边梯形面积为 A.,其中被积表达式f(x)dx就是直角坐标下的面积元素,它表示高为f(x)、底为dx的一个矩形面积.,(2)由曲线,直线y=c,y=d(cd)及y轴轴所围成的曲边梯形的面积,(3)求下列曲线所围成的面积,例1.计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形的面积.,解:由,得交点,例2.计算抛物线,与直线,的面积.,解:由,得交点,所围图形,为简便计算,选取 y 作积分变量,则
6、有,平面极坐标系：,极坐标与直角坐标的关系：,或,直角坐标系圆的方程：,极坐标系圆的方程：,曲边扇形面积元素,曲边扇形的面积公式,平面极坐标下图形的面积,例6.计算心形线,所围图形的,面积.,解:,(利用对称性),变力沿直线所作的功,设物体在连续变力 F(x)作用下沿 x 轴从 xa 移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.,在其上所作的功元,素为,因此变力F(x)在区间,上所作的功为,补例1,体,求移动过程中气体压力所,解:,由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S 的活塞从,点 a 处移动到点 b 处(如图),作的功.,建立坐标系如图.,由波义耳马略特定律知压强,p 与体积 V 成反
7、比,即,功元素为,故作用在活塞上的,所求功为,力为,在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气,补例2,为3m,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?,解:建立坐标系如图.,在任一小区间,上的一薄层水的重力为,这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为,故所求功为,(KJ),设水的密度为,(KN),一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m,底圆半径为,面积为 A 的平板,液体侧压力,设液体密度为,深为 h 处的压强:,当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.,平板一侧所受的压力为,小窄条上各点的压强,补例3,的液体,求桶的一个端面所受的侧压力.,解:建立坐标系如图.,所论半圆的,利用对称性,侧压力元素,端面所受侧压力为,方程为,一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为,说明:,当桶内充满液体时,小窄条上的压强为,侧压力元素,故端面所受侧压力为,奇函数,习题3-5 1,3,6,89,11,15,16,19,22,28,32.,第三章总练习题 3,5,(提示:令x+ht=u；应用积分中值定理）,7,8.(2),(4),10,13,20,21,23.27.,
