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1、1一阶微分方程2可降阶的二阶微分方程3二阶线性微分方程的解的结构4二阶常系数线性微分方程,一、本章要点,1一阶微分方程,1)可分离变量的微分方程,解法,类型,2)一阶线性微分方程,类型,解法,3)齐次方程,此为变量可分离的微分方程,类型,解法 令，则 原方程变为,4)伯努利方程,为一阶线性微分方程,类型,解法 令，则原方程变为,2可降阶的二阶微分方程,方法 作 次积分,新方程是一个一阶微分方程,1)类型,2)类型,方法 令，则原方程转变为,新方程是一个一阶微分方程,3)类型,方法 令，则原方程转变为,3二阶线性微分方程的解的结构,设二阶线性微分方程,而称方程,为方程所对应的齐次线性方程有,1)
2、若 是方程的线性无关解，则方程有通解,的一个特解,2)若 是方程的特解，则方程有通解,3)若 是方程 的特解，,则 为方程,4二阶常系数线性微分方程,1)二阶常系齐次数线性微分方程,设方程,相应的特征方程为,则：若方程有两个不同的实根，则方程的通解为,若方程有两个相同的实根，则方程的通解为,若方程有一对共轭复根，则方程的通,解为,2)二阶常系数非齐次线性微分方程,设方程为,则方程有特解,其中 是一个与 同次的多项式，而,设方程,则方程有特解,其中 是 次的多项式，而,按 是否为特征方程的根而分别取1或0,二、例 题 选 讲,解 此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量，,因,得,例1 求解方程
3、,两边积分，得,即得原方程的通解,解 原方程变形后为齐次方程,例2 求解方程，,作变换，则有,移项，得,两边积分，得,将 代入，有,即满足初始条件的解为,由初始条件，得，即原方程的解为,解 原方程变形为,即,例3 求微分方程 的通解,此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微分方程，,由求解公式得,根据线性方程求解公式，得该方程的通解为,例4 求解方程,解 令，则原式为,此方程为贝努利方程，再作变换，则有方程,从而得到原方程的通解,解 由方程组,例5 求解方程,得解，作变换，,则原方程为,相应的通解为,令，则有,将，代入上式，得原方程的通解为,例6 在上半平面求一条向上凹的曲线，其任一点,处的曲率等
4、于此曲线在该点的法线段 长度的倒数(是法,线与 轴的交点)，且曲线在点 处的切线与 轴平行,解 设所求曲线为，则点 处的曲率为,(因曲线是向上凹的，故),曲线 在点 处的法线方程为,它与 轴的交点 的坐标为，于是,由题设，即,方程的通解为,由此得，这是不显含 的方程初始条件为,，令 得，于是原方,程变成,由初始条件得，即得,积分得,即,再由初始条件得 故所求曲线为,证 原方程变形为,两端求导，得,例7 设在 时所定义的可微函数 满足条件,求；,证明：当 时 满足不等式,即,令，则原方程化为,由条件所设，即，方程两,端积分，并由初始条件，得,函数 在 上满足拉格郎日中值定理的条件，,因此,从而有
5、，故当 时，；又当,时，令，则,所以 当 时单调增加，于是,即 综合以上得，当 时，有,分离变量，得,两边积分，得,例8 求解微分方程,解法1 此方程为齐次方程，作代换，则有,故方程的通解为,即,由于,解法2 方程变形为,故方程的通解为,代回原变量，得,此方程为贝努利方程，此时令，则有,例9 求解下列方程,即,方程的解为,1.；2.,解 1.此方程不含变量，故令变换，则方程为,即,所以，方程的通解为,方程变形为,即有,2.此方程中不含变量，作变换，则,解得,即,分离变量后，再两边积分得,从而得方程的通解,由，得方程的解为 由,例10 求解下面的初值问题,方程化为,解 令，则,分离变量，两边积分
6、，得,解得,由条件得，解得，即得,分离变量，得,两边积分，得,由条件，得，由此得方程的特解为,例11 求下列方程的通解,解 1.特征方程为,解得，由此得到方程的通解,1.；2.；,3.,则,2.特征方程为，因而齐次方程的通解为,由于 为单根，故可设方程的特解为,代入方程后，比较系数得,所以,因而方程的通解为,代入到原方程，得,3.特征方程为，解得，所以齐次方,程的通解为,注意到 不是特征方程的根，故方程的特解可,设为,比较系数，得,故原方程的通解为,解 方程对应的特征方程为,例12 求解方程,方程的解为，所以齐次方程的通解为,对方程，设方程有解,代入方程，得,最后考虑方程，假设方程有解,比较系
7、数，得，即,代入方程，得，即,从而方程的通解为,两边求导，得,两边再次求导，得,例13 设，其中,为连续函数，求,解 因，,即,设非齐次方程的特解是,其初始条件为，对应的齐次方程的,通解是,代入方程，得，即原方程的通解为,由初始条件，得，从而,一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数,例14 小船从河边点 出发驶向对岸(两岸为平行线)，设,船速为 船行方向始终与河岸垂直又设河宽为，河中任,为)，求小船的航行路线,解 如图建立坐标系统，并使水流方向与 的正向一,致设时刻 时，小船位于,处，则,其初始条件为,先解得，再由初始条件得，即,代入到第一个方程中，即有,解得,再由初始条件，得 即小船的航行曲线为,或消去参数，得,三、练 习,1求下列方程的通解：,1)；,2)；,3)；,4)；,5),2设 是连续函数，且满足,求,3求解下列微分方程：,1)；,2),5求解下列微分方程：,4求下面初值问题的解：,1)；,4)；,2)；,3)；,5),6设 为连续函数,且满足方程,求,7已知光滑曲线 过原点和点，任取曲线上的点,，过 作两坐标轴的平行线 和 与 轴及,曲线所围成的面积等于 与 轴及曲线围成的面积的2倍,求,曲线的方程,8一长度为 的均匀链条放置在一个水平面无摩擦力的,桌面上,滑动开始时,链条在桌边挂下来的长度为 问链条,全部滑离桌面需要多少时间?,
