《高等数学第八章第4节.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学第八章第4节.ppt（36页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第八章,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,第四节,空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,特点：,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t 的函数:,称它为空间曲线的 参数方程.,例如,圆柱螺旋线,的参数方程为,上升高度,称为螺距.,动点从A点出发，经过t时间，运动到M点,螺旋线的参数方程,取时间t为参数
2、，,解,螺旋线的参数方程还可以写为,螺旋线的重要性质：,上升的高度与转过的角度成正比即,上升的高度,螺距,将空间曲线的一般方程化为参数方程表示,解:,为参数方程,由y+z=0得z=-y，将其代入球面方程，得,其方法是：根据平面解析几何中方程的参数,的表示来空间曲线的参数方程.例如,化空间曲线,即,此方程在平面解析几何中表示椭圆，可用参数表示,为所求.,例1.将下列曲线化为参数方程表示:(了解）,解:(1),根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为,故所求为,得所求为,例.求空间曲线:,绕 z 轴旋转,时的旋转曲面方程.*自阅,解:,点 M1绕 z 轴旋转,转过角度 后到点,则,这就是旋转曲
3、面满足的参数方程.,*例如,直线,绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为,消去 t 和,得旋转曲面方程为,绕 z 轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为,*又如,xoz 面上的半圆周,说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如,三、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C 在xoy 面上的投影曲线 C为,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程,以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.,投影柱面的特征：,如图:投影曲线的研究过程.,空间曲线,投影曲线,投影柱面,例如,在xoy 面上的投影曲线方程为,例2,求曲线,绕
4、 z 轴旋转的曲面与平面,的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为,此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.,空间立体,曲面,例3,解,半球面和锥面的交线为,一个圆,内容小结,空间曲线,三元方程组,或参数方程,求投影曲线,(如,圆柱螺线),思考与练习,教材P37 题 1，2，7（展示空间图形）,P37 题1,(2),(1),答案:,(3),a,a,作图练习2,a,a,作图练习2,.,a,a,学画草图,作图练习2,.,a,P37 题2(1),思考:,交线情况如何?,交线情况如何?,P37 题2(2),P37 题 7,练习 求曲线 在坐标面上的投影.,解,（1）消去变量z后得,在 面上的投影为,所以在 面上的投影为线段.,（3）同理在 面上的投影也为线段.,（2）因为曲线在平面 上，,截线方程为,解,如图,1,.,练习 作出球面,与,旋转抛物面,的交线.,.,1,L,.,.,.,.,1,1,1,y,x,0,作图练习3,思考题,思考题解答,交线方程为,在 面上的投影为,作业册 P,作业,练习 方程组 表示怎样的曲线？,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆.,
