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1、二、高阶导数的运算法则,第三节,一、高阶导数的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高阶导数,第二章,一、高阶导数的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,记为,或记为,定义：,即,存在，,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为 n 阶导数,或,依次类推,分别记作,这里,设,求,例1.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明：,例4.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,求,解：,依次类推,可得,特别有:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.求,的 n 阶导数。,和,
2、解:,一般地,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般地,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,求,补：,解：,例6.求,的 n 阶导数。,解:,规定 0!=1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,例7.求,的 n 阶导数。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明：,特别地，,设,求,解:,依次类推,例8.,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.设,求,解:,特别有:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在.,2,又,阶数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推导 目录 上页 下页 返回 结束,二、函数乘积的 阶导数
3、的莱布尼兹公式,都有 n 阶导数,则,用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立.,即,比较二项式定理展开式：,（形式完全一样）,例11.,求,解:设,则,代入莱布尼兹公式,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求,解:设,则,代入莱布尼兹公式,得,练：,例12.设,求,解:,即,用莱布尼兹公式求 n 阶导数,令,得,由,得,即,由,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.如何求下列函数的 n 阶导数?,解:,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3),提示:令,原式,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.(填空题)(1)设,则,提示:,各项均含因子(x 2),(2)已知,任意阶可导,且,时,提示:,则当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.试从,导出,解：,同样可求,(见 P103 题4),第四节 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P101 1（11）（12）3 10（2）,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,解:,设,求,其中 f 二阶可导.,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
