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1、,第四节,一、立体体积,二、曲面的面积,三、物体的质心,四、物体的转动惯量,五、物体的引力,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重积分的应用,第十章,1.能用重积分解决的实际问题的特点,所求量是,对区域具有可加性,从定积分定义出发 建立积分式,用微元分析法(元素法),分布在有界闭域上的整体量,3.解题要点,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2.用重积分解决问题的方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求半径为a 的球面与半顶角为 的,内接锥面
2、所围成的立体的体积.,解:在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲面的面积,设光滑曲面,则面积 A 可看成曲面上各点,处小切平面的面积 d A 无限积累而成.,设它在 D 上的投影为 d,(称为面积元素),则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故有曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若光滑曲面方程为,若光滑曲面方程为隐式,则,则有,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.计算双曲抛物面,被柱面,所截,解:曲面在 xoy 面上投影为,则,出的面积 A.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、物体的
3、质心,设空间有n个质点,其质量分别,由力学知,该质点系的质心坐标,设物体占有空间域,有连续密度函数,则,公式,分别位于,为,为,即:,采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点,例如,令各小区域的最大直径,系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.,的质点,即得,此质点,在第 k 块上任取一点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同理可得,则得形心坐标：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积),得D 的形心坐标:,则它的质心坐标为,其面密度,
4、对 x 轴的 静矩,对 y 轴的 静矩,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求位于两圆,和,的质心.,解:利用对称性可知,而,之间均匀薄片,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线,的方程为,内储有高为 h 的均质钢液,解:利用对称性可知质心在 z 轴上，,采用柱坐标,则炉壁方程为,因此,故,自重,求它的质心.,若炉,不计炉体的,其坐标为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、物体的转动惯量,设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数,该物体位于(x,y,z)处的微元,因此物体 对 z 轴 的转动惯量:,对 z 轴的转动
5、惯量为,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故,连续体的转动惯量可用积分计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可得:,对 x 轴的转动惯量,对 y 轴的转动惯量,对原点的转动惯量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果物体是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径,解:建立坐标系如图,的转动惯量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:取球心为原点,z 轴为 l 轴,则,例6.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.,设球,所占域为,(用球坐标),机动 目录 上页 下页 返回
6、结束,例7.,设面密度为,半径为R的圆形薄片,求它对位于点,解:由对称性知引力,处的单位质量质点的引力.,。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、物体的引力,(t 为时间)的雪堆在融化过程中,其,侧面满足方程,设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为,已知体积减少的速率与侧面积成正比,(比例系数 0.9),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要,多少小时?(2001考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,提示:,记雪堆体积为 V,侧面积为 S,则,(用极坐标),机动 目录 上页 下页 返回 结束,由题意知,令,得,(小时),因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100,小时.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
