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1、第三章 几何光学的基本原理,本 章 概 述,基本概念（3-1、3-3）光线、实像、虚像、虚物,基本定理（3-2）费马原理,由费马原理导出反射定律和折射定律（3-4）,光学系统成像的规律（3-53-8）,球面镜成像,薄透镜成像,近轴条件,基点基面法及其意义（3-93-10）,31 几个基本概念 费马原理,一、光线与波面,光线的概念,波面的概念,在各向同性介质中的关系,球面波,平面波,波面,光线,二、几何光学的基本实验定律,1、光在均匀介质中的直线传播定律,2、光通过两种介质界面时的反射定律和折射定律,3、光的独立传播定律和光路可逆原理,三 费马原理,费马原理：光在指定的两点之间传播，光沿光程为最
2、大、最小或恒定的路程传播。（光程-教材P15页）,数学表达式为,实际情况下一般取极小值,1、直线传播定律,A,B,当光在均匀介质（或真空）中从A 点传播到B 点时，费马原理指出光线走最小路程。,由两点之间直线最短这一几何公理知，光线必沿直线传播。,光的直线传播定律是费马原理的直接结果。,光沿遵守反射定律的路径ADB行进时，通过距离最短，费时最少,2、反射定律,E,D,B,D,给定点A和B：,从B点向分界面引垂线BEB,令 BE=BE,DB=DB，DB=DB,ADB=AD+DB=AD+DB=ADB,ADB=AD+DB=AD+DB=ADB,光路ADB遵守反射定律,光路ADB不遵守反射定律,ADB遵
3、守反射定律，i1=i2,ADB为直线 ADB为折线,ADB ADB,遵守费马原理,3、折射定律,E,D,C,从A点和B点向分界面引垂线AC、BE,给定点A和B：,CE=P（常数）,CD=x（变量）,令,求x为何值时，从A点到B点的光程（或时间）最短？,光从AD B的时间为,v：光在n1中的速度,v：光在n2中的速度,令,折射定律,光在均匀介质中沿直线传播，在介质分界面上的反射和折射都是最短光程的例子。,但若镜面M是一个旋转椭球面，通过一个焦点P的入射光线被椭球面上任一点Ai（i=1，2，3，）反射后总是通过另一焦点P，并且:PAiAiP=常量,因此，所有通过P和P两点的实际光线是光程为恒定值的
4、例子。,在图32（b）的情况中，光在镜面M上反射时，只有PA1 P是实际光线所经过的路程，其他方向的入射线如果通过P点就不能够在反射后通过P点。因为：,因此，实际光程是最短的。,在图32（c）的情况中，光在镜面M上反射时，实际光程PA1 P取最大值。因为从图易知：,四 单心光束 实像和虚象,成像：几何光学研究的核心问题之一,1、单心光束、实像和虚象,单心光束：凡具有单个顶点的光束为单心光束,像：反射或折射后光束中仍能找到顶点，该顶点为发光点 的像,实像：反射或折射后实际光线的汇聚点,虚像：反射或折射后实际光线的反向延长线的汇聚点,2、实物、实像和虚像的区别和联系,联系:从人眼的视觉效果来讲，物
5、点、实像点和虚像点均为 进入瞳孔的发散光束的顶点,实物光线进入人眼,实像光线进入人眼,虚像光线进入人眼,区别:,1、物点向一切方向发光，人眼无论在何处均可看见它,2、像点发光范围受仪器（透镜、面镜等）限制，人眼只能在其发光范围内可看见它,3、实像点确有光线通过，虚像点根本没有光线通过,人眼在像点发光范围内可见它,32 光在平面界面上的反射和折射 光学纤维,应用光学研究的主要问题是怎样准确地反映物体的形状,即怎样保持光束单心性的问题,一、光在平面上的反射,由光的反射定律知,P 和P关于 M 对称,平面镜是能保持光束单心性、成完善像的系统,N,二、光在平面上的折射，光束单心性的破坏,1、讨论两条光
6、线PA1、PA2 的折射：,P（0、y），,A1（x1、0）,A2（x2、0），,P1（0、y1）,P2（0、y2），,P（x、y）,由几何光学可计算出（附录3-1）：,决定P点的位置,光线PA1、PA2受oxy面限制,不能认为是任意光线,故不能认为P是所有任意光线的顶点！,2、讨论P发出的狭窄空间光束的折射：,将PA1A2饶 oy 轴旋转一小角度，得上述光束,光束中所有光线的折射光的反向延长线均落在P1P2范围内,在旋转中P在空间画出了一段弧线，旋转角度很小时可近 似认为该弧为垂直于图面的直线，单心光束中所有折射光 的反向延长线均交于该直线上的各点。,折射光束的单心性被破坏！,P1P2：弧矢
7、焦线,P在空间画出的垂直于图面的直线：子午焦线,弧矢焦线子午焦线,当P点所发出的光束几乎垂直于界面，即i10时，从（3-2）、（3-3）、（3-4）三式可得:,这时P1，P2，和P 三点几乎合在一起，这时折射光束几乎仍保持为单心的。入射方向越倾斜，折射光束的像散就越显著。,在水面上沿着竖直方向观看水中物体，所见的像最清晰，此时所见像的深度y与实际物的深度y之比决定于介质的折射率之比n2/n1。若n1n2，则yy，即水中物体似乎上升了，y叫做像似深度。（由光疏进入光密）当沿着倾斜角度较大的方向观看时，像的清晰度由于像散而受到破坏，因此像比较模糊。,当 i1=0 时，P1、P2、P点重叠，折射光束
8、能保持单心性。,i1，折射光的像散越大。,透过折射率为 n、厚度为 d 的平行板，以入射角i1观察物体 P 时，像点 P移动的距离为：,PP=d（1-1/n）,三、全反射、光学纤维,由折射定律,若 n1n2，则 i2i1 无全反射,若 n1n2，则 i2i1，,当 i1=ic，使 i2=/2，sini2=1,i1,i2,时，界面不再有折射光，而入射光全部被反射叫全反射,全反射临界角,四、光学纤维,光学纤维：直径几微米的单根或多根玻璃或塑料纤维组成。,每根分内外两层：,n内=n1=1.8；,n外=n2=1.4,光从内层射到外层，入射角大于临界角的光线由于全反射而在界面上多次反射传到另一端。,设光
9、从n0n1，入射角 i，折射角i,n0 sin i=n1sin i,设光从n1n2，若入射角 i1=/2 i=ic，则折射角i2=/2,只有顶角在等于 2i 的空间锥体内的全部光线才能发生全反射。,若 n0=1,入射角 i 的光线,以 ic 的角射入n2,不能发生全反射（射出去）,若 n1-n2,则 i,光纤传播的光束大,五、棱镜,D,E,已知,顶角 A,折射率 n,单色光入射,求偏向角,由图易看出：,可证明（见附录3-2）：,i1=i1 时，取最小值,最小偏向角（与n无关）,即光线对称地出入棱镜时时，偏向角取最小值,i1=i1 时，,若棱镜放在空气中：,若已知 A，测出0，可计算出 n。,六
10、、应用：,等腰直角棱镜：改变光线传播方向的光学元件。若为全反射，反射光强几乎没有能量损失。,特例：当三棱镜顶角A很小时，称光楔。可将入射的光线偏折：,33 光在球面上的反射和折射,一、符号法则几个概念：顶点：球面的中心点O曲率中心：球面的球心C曲率半径：球面的半径主轴：连接顶点和曲率中心的直线CO主截面：通过主轴的平面主轴对于所有的主截面具有对称性,研究光经由球面的反射和折射，是研究一般光学系统成像的基础。,右图表示球面的一个主截面,在计算任一条光线的线段长度和角度时，我们对符号作如下规定：,（1）线段长度都从顶点算起，右正左负,上正下负.,（2）光线的倾角都从主轴（或球面法线）算起，并取小于
11、 2的角(法线优先)。顺正逆负.(3)全正图.,以下讨论都假定光线自左向右传播:,二、球面反射对光束单心性的破坏,在右图中，从点光源P发出的光波在凹球面镜上A点反射,在P点与主轴相交。通过计算PAP的光程，然后应用费马原理可得到如下公式：,显然S将随着所取入射线的倾斜角u（亦即角）的变化而变化。这就是说，从物点发出的单心光束经球面反射后，将不再保持单心性!,在右图中，对应于PA1及PA2两入射光线的反射线，分别交主轴于P1和P2两点，且相交于P点。把该图绕主轴PO转过一个小角度，使PA1A2展成一单心的空间光束，此时P点描出一条很短的弧线，它垂直于图面即反射光束的子午焦线，而图面中的P1P2则
12、为弧矢焦线。,三、近轴光线条件下球面反射的物像公式,在近轴光线条件下，很小，在一级近似下，cos 1，因此，式可以变成：,在上式中，r一定，只有一个s和给定的s对应，此时存在确定的像点。叫做高斯像点。其中S称为物距，S称为像距。,也适用于凸球面反射，而且在近轴光线条件下无论S值的大小如何都适用。应用这个公式时，必须注意符号法则。,当S=-时，S=r/2,即沿主轴方向的平行光束入射经球面反射后，成为会聚（或发散）的光束，其顶点在主轴上，称为反射球面的焦点。焦点到顶点间的距离，称为焦距，以f表示，即f=r/2。,于是得到下式：,这个联系物距和像距的公式称为球面反射物像公式,无论对于凹球面还是凸球面
13、，无论S、S、f的数值大小、是正的还是负的，只要在近轴光线的条件下，上式都是球面反射成像的基本公式。,四、球面折射对光束单心性的破坏,如图所示，AOB是折射率分别为n和n的两种介质的球面界面，r为球面的半径，C为球心，O为球面顶点，OC的延长线为球面的主轴。,设nn，光线从点光源P发出，经球面A点折射后与主轴相交于P,如图:,根据几何关系及费马原理可得：,由此可见，S也和的大小有关。从物点P发出的单心光束经球面折射后，单心性也被破坏。,五、近轴光线条件下球面折射的物像公式,在近轴光线的条件下，值很小，在一级近似下，cos 1，因此：,上式右端仅与介质的折射率及球面的曲率半径有关，因而对于一定的
14、介质及一定形状的表面来讲是一个不变量，定义为光焦度，以表示：,如果P和P之一为物，则另一点为其相应的像。物点和像点的这种关系称为共轭，相应的点称为共轭点，相应的光线称为共轭光线。应该指出，物像共轭是光路可逆原理的必然结果,它表征系统对光线的曲折本领,光焦度的单位为m-1,1光焦度=100商业度,由于像可以是实的也可以是虚的，即可以位于球面的任一侧。因此，我们规定入射光束在其中行进的空间为物空间，折射光束在其中行进的空间为像空间。,虚像点虽虚线交于物空间，但实际上并不存在，实际存在的是像空间的发散光束。,在球面反射的情况中，物空间和像空间相重合。在实物物距S0的情况下，S0得实像，S0得虚像,要
15、注意：,球面界面的像方焦点F：平行于主轴的入射光线折射后 和主轴的交点。,像方焦距f：从球面顶点O到像方焦点的距离。其值为：,物方焦点F：如果把物点放在主轴上某一点时，发出的光折射后是平行于主轴的平行光束，那么这一点称为物方焦点F,物方焦距f：从球面顶点到物方焦点的距离。其值为：,即焦距之比等于物像两方介质的折射率之比。由于n和n永远不相等，故。上式中的负号表示物方和像方焦点永远位于球面界面的左右两侧。,f与f之间的关系为:,六、高斯公式和牛顿公式,将焦距代入 式，得：,或：,以后我们将看到，在其他光具组理想成像时，物距、像距和焦距的关系式也和上式完全相同。因此可说上式是普遍的物像公式，称为高
16、斯物像公式。,若光线自右向左传播，则物空间在球面顶点的右方，而像空间在球面顶点的左方，此时前述符号法则仍然适用。,应该注意：,我们采用的这一符号法则，比较符合数学惯例（仅角度的正负方向照顾到应用光学的习惯），对于不同的光线方向也能适用，这个符号法则称为新笛卡儿符号法则。,新笛卡儿符号法则,在确定物点P和像点P的位置时，物距和像距也可以不从球面顶点，而分别从物方和像方焦点算起。物点在F之左的，物距FP用-X表示；像点在F之右的，像距FP用+X表示。左右改变时，正负号也跟着改变。这样表示物距和像距关系的式子又可写成另一种形式，即：,牛顿公式,或：,以后将会看到，上页关系式对于其他光具组也是普遍适用
17、的，称为牛顿公式。其形式更简单，对称形式更为显著，有时运用起来较为方便。,课后任务：1、理解P133例3.4;2、从球面折射高斯公式推出球面反射,平面折射,反射及相关焦距的公式;3、作业：第三章 7,8,10,12T,例3.3P129 一个点状物体放在离凹球面镜前0.05m处，凹球面镜的曲率半径为0.20m，试确定像的位置和性质。,解：,若光线自左向右进行，这时S=-0.05m,r=-0.02m,由(3-14)式，可得:,所成的是在凹面镜后0.10m处的一个虚像。,如果光线自右向左进行，那么S=0.05m,r=0.02m,由(3-14)式可得：,得到的仍然是在凹面镜后0.10m处的一个虚像。这
18、说明无论光线自左向右进行，还是自右向左进行，只要按照前述符号法则，物象公式都是适用的。,3-4光连续在几个球面界面上的折射 虚物的概念,一、共轴光具组,共轴光具组：如果多个球面的曲率中心都在同一直线上，则这种系统称为。,光具组共轴的目的：通过前一个球面的光束能通过或部分通过下一个球面。为此，要尽量使用光束中的近轴光线。,二、逐个球面成像法,在近轴光线的情况下，要解决共轴光具组成像问题，可以使用逐个球面成像法。,即对第一个球面来说是出射的折射光束，对第二个球面来说就是入射光束（此时第二个球面的物空间与第一个球面的像空间重叠），所以第一个球面所成的像，就可看做是第二个球面的物，依次逐个对各球面成像
19、，最后就能求出物体通过整个系统所成的像。,三、虚物的概念,如果光从前一个球面出射后是会聚的，应该成实像。但光束尚未到达会聚点，就遇到下一个球面，这种会聚光束对于下一个球面来说是入射光束，故仍应将其顶点看作是物，不过这只能算虚物，应以入射光束原应会聚之点作为虚物所在之点。这时可按照符号法则来定物距的正负，应用物像公式来计算像的位置。其实这是物像共轭的必然结果。,虚物 未经光学系统变换的会聚同心光束的心，称为虚物,虚像 经光学系统变换后的发散同心光束的心，称为虚像,实物 未经光学系统变换的发散同心光束的心，称为实物,实像 经光学系统变换后的会聚同心光束的心，称为实像,（a)图为表示光在凹球面上的折
20、射（P点为实物，P 点为虚像。）,（b)图为(a)图按光路可逆原理的反转（P0点为虚物，P0 点为实像。）,3-5 薄透镜,如透镜为圆片形，圆片的直径称为透镜的孔径。,透镜：把玻璃等透明物质磨成薄片，使其两表面都为球面或有一面为平面。,凸透镜：中间部分比边缘部分厚的透镜。,凹透镜：中间部分比边缘部分薄的透镜。,主轴：连接透镜两球面曲率中心的直线称为透镜的,主截面：包含主轴的任一平面。,常见的透镜有：,一、近轴条件下薄透镜的成像公式,透镜的厚度：透镜两表面在其主轴上的间隔称为。,厚透镜：若透镜的厚度与球面的曲率半径相比不能忽略，则称为。,薄透镜：,如图所示，通过几何关系及费马原理可以得到薄透镜的
21、物像公式(两次成像法!)：,从上式出发，容易得到薄透镜的高斯公式：,同样可以得到牛顿公式：,当透镜很薄，可认为两个顶点重合在一点O。若透镜两边的折射率相同，则通过O点的光线都不改变方向(为什么?),这个点称为透镜的光心。成像时测量距离都从光心算起。,注意：,若n1=n2=n,1、则当nn时，凸透镜是会聚透镜，凹透镜是发散透镜。例如:,判断透镜是会聚透镜还是发散透镜，不能单看透镜的形状.(看什么?),则凹透镜是会聚透镜，凸透镜是发散透镜。,2、若nn,二、横向放大率,定义式：像的横向大小与物的大小之比。,即：,利用三角形相似及牛顿公式可得计算式：,注意：1、如果计算所得是正值，表示像是正的；如果
22、是负值，表示像是倒的。2、1表示像是放大的，1表示像是缩小的。,（P138）,各种光学元件成像公式小结:,1、单球面折射:当r时，平面折射：当n=-n时，单球面反射:在单球面反射中，若r时，平面反射、薄透镜成像:当n1=n2时，f=-f,高斯公式简化,三、轴上物点作图求象法,会聚薄透镜-轴外物点作图成像中的三条特殊光线,O,.,F,F,.,O,.,.,发散薄透镜-轴外物点作图成像中的三条特殊光线,F,F,会聚薄透镜-轴上物点及任意光线的作图求像法-像方焦平面!,O,F,F1,.,P,P,.,会聚薄透镜-轴上物点及任意光线的作图求象法-物方焦平面!(另一种作图方法),O,P,F1,P,.,F,O
23、,F,.,.,.,P,P,F1,发散薄透镜-轴上物点及任意光线的作图求象法-像方焦平面!,O,F1,P,.,.,F,发散薄透镜-轴上物点及任意光线的作图求像法物方焦平面!(另一种作图方法),P,单一球面界面的作图求像法,1单球面折射：入射光线(物空间)与折射光线(象空间)分布于球面异侧，物、像方焦点 F、F分布于球面顶点O的两侧,曲率中心C为光心.,2.单球面反射 入射光线(物空间)与反射光线(像空间)位于球面同 侧，物、像方主焦点F、F重合于一点F。,F,C,O,单球面反射成像中的三条特殊光线,+,注意:(1)近轴物、近轴光线;(2)光线的变向点在界面上！(3)光线必须用带箭号的实直线表示！
24、其延长线用不带箭号的虚直线表示！,(4)所有辅助线(如副光轴，焦平面等)都 用虚线表示。(5)图中的基点采用规定的字母表示，如C(曲率中心)、O(顶点)、F(物方焦点)、F(像方焦点)等。,3-6 近轴物点近轴光线成像的条件,目前仅研究了光线从单独一点发出而被球面反射或折射后所产生的像点，而且是在近轴光线条件下的成像问题。,由于物体总是存在一定形状和大小。不在主轴上的任意一个发光点所发出的光束，经球面反射或折射后是否仍能保持光束的单心性？,问题1,问题2,应在怎样的条件下才能保持单心性，并成像于单独的一点？,根据费马原理，物体上任意发光点Q所发出的光束经主轴附近的球面反射或折射后，能成像于单独
25、一点Q的条件是：从Q发出的所有光线到达Q点时的光程都相等。,分别讨论球面反射和球面折射的情况:,一、近轴物在近轴光线条件下球面反射的成像公式,从Q点作直线段QP垂直于主轴，从像点Q作直线段QP也垂直于主轴（见图326）。O为球面镜顶点，A为任意入射点，令OP=-S，OP=-S，AA（垂直于主轴）=+h，OA=-x，PQ=+y，PQ=-y从Q沿任一光线QA到Q的光程为:QA QQAAQ,用二项式定理将上式展开并略去高次项，即得（见附录3.3）下式：,要使所有从Q点发出的光线到Q点的光程都相等，必须满足这样的一个条件：QAQ应与 h无关，也就是说，上式中含有 h和h2的各项都应等于零，即：,和,（
26、3-32）,（3-33）,（3-32）式表示如果轴外物点Q和P有相同的S值，则Q和P也应当有相同的S值。,即如果物是垂直于主轴的线段则像也是垂直于主轴的线段，这符合理想成像的要求。（3-33）式说明y与y之比取决于s与s之比。而且隐含了物面各处成像时被放大同样倍数-几何相似性!,结论：,要使不在主轴上的一个发光点Q能够理想成像于单独一个像点Q,必须同时满足以下两个限制件：,（1）光线必须是近轴的因为只有当|h|r|时,近似值 才成立.,（2）物点必须是近轴的即|y|s|,这样在光程QAQ的展开式中的所有高次项才可略去。,二、近轴物在近轴光线条件下球面折射的物像公式,可用同样方法处理球面折射时的
27、情况。下 图3表示不在主轴上的Q点成像于Q点。在近轴物点近轴光线的条件下，从Q沿任一光线到Q的光程按上节所讨论的结果为：,利用QAQ与无关的条件可得：,和,物像公式,折射定律,可求出横向放大率,横向放大率小结:(1)球面折射:平面折射:(2)球面反射:平面反射:(3)薄透镜:,3-7 理想光具组的基点和基面,逐个球面成像法面临的困难:理论上可以解决任意多个球面的成像问题，但运算繁琐，而且实际的光学系统中各球面间的相对位置往往并不完全知道。,解决问题的简化方法：以一个等效的光具组代替整个共轴的光学系统，并设法找出这个光具组的焦点在内的基点，那么就可以不考虑光在该系统中的实际路径而确定像的大小和位
28、置。,理想光具组：可以保持光束单心性像和物在几何上相似。,高斯理论成立的条件：,1、光线仍旧限于近轴；,2、不要求光具组是“薄”的；,3、须建立一系列基点和基面(请猜猜?),用这些基点和基面就可以描述光具组的基本光学特性，而不用去研究光具组中实际的光线，从而把问题大大简化。这些基点和基面是：焦点、主点、节点；焦平面和主平面。,厚透镜是由两个单球面镜组合而成的，因此厚透镜实际上是两个单球面组合的简单光具组。,对由任意多个共轴光具组复合而成的情况，可以先把两个相邻的单光具组合并为一个光具组，求出其基点；然后逐次和下一个单光具组合并.所以这里只讨论把两个相邻光具组合并成一个时，如何求出其焦点和主点的
29、位置即可。,一、在空气中厚透镜物像公式的高斯形式,上图表示置于空气中的轴厚度为的厚透镜，P和P分别为物点和像点，F和F分别为物方焦点和像方焦点。在近轴条件下，厚透镜的物像关系可以通过对曲率半径为r1和r2的两个折射球面逐次成像求得。,设物点P离球面O1的距离为，像点P离球面O2的距离为，则对折射球面O1由（3-17）式可得:,对折射球面O2，也可得到：,式中 是第一个折射球面形成的像与顶点O1间距离。若令：,其中 是第一个折射球面的像方焦距，并令：,其中 是第二个折射球面的物方焦距，则上述两个公式可改写为:,消去上述两式中的，并把测量物距和像距的参考原点从原来的O1和O2处分别移动了距离P和P
30、后，像距和物距 满足如下关系：,式中 是厚透镜的像方焦距，其值为：,（3-42）,或：,再进行适当代换可解得：,物像位置的关系式（3-41）可以表示成公式（342）的较简单的形式。,若令：,则在空气中厚透镜物像公式的高斯形式即为：,二、厚透镜的基点和基面,上式在形式上与空气中薄透镜物像公式的高斯形式完全相同。但是必须注意，上式中的物距s不是从顶点O1量起，而从H点量起，H点与O1点间的距离为p；像距 S也不是从顶点 O2量起，而是从 H量起，H与O2点间的距离为p。,H和H点分别叫做物方主点和像方主点。,在近轴条件下，通过H和H点垂直于主轴的平面分别叫物方主平面和像方主平面。,一束平行于主轴的
31、入射光，通过光具组后所成的像，即为像方焦点F；从物方焦点F发出的光，通过光具组后，将成为平行光。在近轴条件下，通过F点和F点并垂直于主轴的平面分别叫物方焦平面和像方焦平面。主点至焦点的距离即为焦距。,总之，测量s和f时，原点取在物方主点H；测量s和f时，原点取在像方主点H。这样，厚透镜的物像公式仍然与前面高斯公式的形式相同。,如果物距x和像距x分别从物方焦点和像方焦点量起，f和f分别从物方主点和像方主点量起，物和像的位置关系仍可用牛顿公式表示，即：,厚透镜的两个主点的位置可由 和 两式计算得到。p和p分别从O1和O2量起，当p和p为正值时，主点H和H各自位于顶点O1和O2的右方；当p和p为负值
32、时，主点各自位于顶点O1和O2的左方。,例3(习题11)：有一折射率为1.55、半径为 4 cm的玻璃球，物体在距球表面 6 cm 处，求：（1）从物所成的像到球心之间的距离；（2）求像的横向放大率。,解：,（1）利用P199空气中厚透镜物像公式可知：,其中n=1.5,r1=4cm,r2=-4cm，=8cm,即主点H1、H2分别位于O1、O2右方和左方4cm 处，容易看出，H1、H2重合于球心O。,按题意，物离物方主点H的距离为：-（6+4）cm,于是由：,（2）,由此可见，得到的是放大的倒立的像。,三、复合光具组的基点和基面*,只要给出了厚透镜的焦点和主点，就可以确定物像之间的关系。为了知道
33、共轭光线之间的关系，还要知道第三对基点节点。,节点分物方节点和像方节点，其特征是通过物方节点K和像方节点K的任意共轭光线方向不变，即u=u，如图334所示。,图335所示是两个厚透镜（或两个单光具组）组合的复合光具组。,对理想光具组，当最后的出射光线平行于相应的入射光线时，这两条光线和主轴的交点K、K分别叫做物方节点和像方节点。,图335,设两个共轴单光具组 I和 的主点分别为H1、H1和H2、H2它们的焦距分别为f1、f1和f2、f2。用I 的像方焦点F1和 的物方焦点 F2之间的距离（称为两系统的光学间隔）或 I的像方主点H1和 的物方主点 H2之间的距离 d来表示它们之间的距离。,F2在
34、F1之右时为正；F2在F1之左时为负。H2在H1之右时d为正，H2在H1之左时d为负。各单光具组中涉及的距离都遵照符号法则规定。,为简明起见，图中所示的光具组I和的像方焦距都是正的，且和d也是正的。显然，只要用d来代替厚透镜中两个单球面镜间的距离（厚透镜的厚度），并考虑到I和之间的介质的折射率n=1，那么对这一复合光具组来说，其焦距的大小和主点的位置可由（343）式、（345）式和（346）式得到，即：,上式中，p从H1量起，p从H2量起，而f从H量起，f 从H量起，如图335所示。,若考虑到式中 d=+f1-f2，以及在空气中的f1=-f1，f2=-f2，则以上三式还可以写成如下形式：,（3
35、-51）,由（3-51）式变形可得：,在空气中f2=-f2，故上式可变为：,若两光具组接触，则d=0，因而有：,3.10 理想光具组的放大率 基点和基面的性质*,一、理想光具组的横向放大率,下面以厚透镜为例求出理想光具组的放大率。,厚透镜的放大率是两个折射球面的放大率之积。,由（3-35）式可知：第一个折射球面的放大率为：,第二个折射球面的放大率为：,因此,对上式化简得：,利用高斯物像公式，厚透镜的横向放大率可写为：,上式与薄透镜的横向放大率形式完全相同，上式中的s、s从主点量起。,利用牛顿公式，光具组的横向放大率也可写成：,二、理想光具组的角放大率,角放大率定义为：,利用牛顿公式，上式可变为
36、：,理想光具组的横向放大率与角放大率分别为：,可见，对给定的光学系统，无论是单球面，还是复杂光具组，变换光束并不能随心所欲：像尺寸变大必以光束孔径角同倍数变小为代价。,3-11 一般理想光具组的作图求像法与物像公式*,一、焦点和焦平面,物方焦平面：与无穷远像平面共轭的物平面,物方焦点F：物方焦平面与主轴的交点,像方焦平面：与无穷远物平面共轭的像平面,像方焦点F：像方焦平面与主轴的交点,光线1：平行于主光轴的入射光束经光学系统后必交于F点,光线2：过F点的入射光束经光学系统后必平行于主光轴出射,光线3：与主光轴斜交的平行入射光束经光学系统后必交于 像方焦平面上轴外同一点,光线4：从物方焦平面上轴
37、外同一点发出的入射光束经光学 系统后必成为与主光轴斜交的平行出射光束,二、主点和主平面,主平面：横向放大率=+1 的一对共轭面,物方主点H：物方主平面与主轴的交点,像方主点H：像方主平面与主轴的交点,三、节点,节点：角放大率=+1 的一对共轭点,属于物方为物方主平面,属于像方为像方主平面,两主平面上任一对共轭点均与主轴等距离,任一对共轭光线的入射点和出射点均与主轴等距离,属于物方为物方节点K,属于像方为像方节点K,光线5：过节点K 和K的一对共轭光线相互平行,三、一般理想光具组的作图求像法,只要知道了一般理想光具组基点的位置，就可以从指定的任一物点利用简单的作图方法。,已知主点H、H，焦点F、
38、F，节点K、K,根据下列步骤可以找到不在主轴上的一个物点Q的像。,1、从物点Q发出的平行于主轴的光线QM经光具组折射后，必通过像方焦点F，它和主平面的交点分别为M、M，M和M与主轴的距离相等。,3、从物点Q作第三条光线经过物方节点K，折射后它经过像方节点K并且和QK平行。在光束仍能保持单心的条件下，这第三条光线必通过Q。,根据下列步骤可以找到在主轴上的一个物点P的像。,2、过物方焦点 F的光线 QF和物方主平面相交于 N点。在像方主平面上取N点，使N和N两点到主轴的距离相等，平行于主轴的光线NQ就是与光线QN共轭的出射光线。MF和NQ两光线相交于 Q点，Q即为像点,（1）作任一光线PM，交物方
39、焦平面于B点；,（2）作辅助线BK通过物方节点K；,（3）在像方主平面上取M点使MHMH，从M点作MP平行于BK，则MP即为出射光线，它和主轴的交点P即为像点。,利用基点基面的作图法带有抽象的意义，因为它没有表示出光线在光具组中实际进行的路线。但我们的目的只是找到像的准确位置，尽管图中没有表示出复杂光具组的实际结构，但在物点和像点附近的光线方向，都是和实际的光线方向相符合的。,容易证明，当一个光具组的基点、基面给定时，其物像之间的关系也可用高斯公式和牛顿公式。,四、光具组的物像公式,当然，这些符号的含义已发生一定变化。,例题1：凸透镜的焦距为10 cm，凹透镜的焦距为4cm，两透镜相距12cm
40、，已知物置于凸透镜左方20cm处，计算像的位置并作光路图。,解：,如图所示，设物为 PQ，就透镜 O1而言，根据新笛卡儿符号法则可知：,f=10 cm（像方焦点在透镜的右方）（物置于透镜的左方）代入薄透镜的高斯公式 得：得，（PQ），为倒立的实像(未考虑凹透镜的存在)。,(2)实像PQ对凹透镜而言为虚物,(像方焦点在透镜O2的左方),S2=20-12=8cm,(虚物位于在透镜O2的右方),应用公式,可得:,(PQ，正立虚像）,例题2：在焦距为30 cm的凸透镜 O1前 15 cm处置一物点在主轴上，在透镜后d=15 cm处放一平面镜O2垂直于主轴，试求像的位置。,（1）如图所示，设物点为P，就
41、透镜O1而言，由符号法则可知：,解,f1=30 cm（像方焦点在透镜的右侧）,S1=-15 cm（物在透镜的左侧）,代入高斯公式：,得：S1=-30cm,因为 S1为负值，像在透镜的左方，所以经透镜 O1成的像 P 为一虚像，且和物位于透镜的同侧,（2）就平面镜O2而言，S2=-d+S1=45 cm,像P对透镜而言是虚像，这像对平面镜而言是发散光束的顶点，因此是实物，并且物处于平面镜的左方，因此物距为负的。令物像公式中的f，得:,S2=-S245 cm,故经平面镜 O2成一虚像P于平面镜右方45 cm处。,（3）P”又成为透镜O1的物点，因为P”是发散光束的顶点，所 以对透镜O1而言是虚物，且
42、位于透镜的右方，所以S3是正的。即：,S3S2+d（4515）cm=60 cm，f3-30 cm,此时物处于透镜的右方，像方焦点在透镜的左方，所以像方焦距为负值。,由透镜的物像公式，得：,因为S3为负值，所以最后实像P在透镜的左方60cm处。,例4 一个凸透镜和一个凹透镜组合成为共轴光具组。用作图法求该光具组的主点、焦点位置。,已知F1、F2、F2的位置和L1、L2 的相对位置，可用逐面成像法求H、H、F、F。,F,H,F,H,像方主平面,物方主平面,例 一虚物PQ位于凹透镜右侧二倍焦距处，试用作图法求它经透镜成的像。,本章小结,理解物像的概念及关系，掌握虚物和虚像的实质,了解费马原理在几何光学中的地位和作用,熟练掌握几何光学中的新笛卡尔符号法则,重点学会运用物像公式和光线作图法求解单球面折射反射和薄透镜组的成像问题及分析像的性质,理解理想光具组的基点和基面的意义及相关作图求像,
