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1、,上节课的内容：光波与电磁波 麦克斯韦方程组,1.2 几种特殊形式的光波(Several light waves with special forms),3.柱面光波(Cylindrical light wave),上节得到的交变电场 E 和交变磁场 H 所满足的波动方程，可以表示为如下的一般形式：,1.2 几种特殊形式的光波,这是一个二阶偏微分方程，根据边界条件的不同，解的具体形式也不同，例如，可以是平面光波、球面光波、柱面光波或高斯光束。,首先说明，光波中包含有电场矢量和磁场矢量，从波的传播特性来看，它们处于同样的地位，但是从光与介质的相互作用来看，其作用不同。在通常应用的情况下，磁场的作
2、用远比电场弱，甚至不起作用。因此，通常把光波中的电场矢量 E 称为光矢量，把电场 E 的振动称为光振动，在讨论光的波动持性时，只考虑电场矢量 E 即可。,1.平面光波(Plane light wave),1）波动方程的平面光波解,在直角坐标系中，拉普拉斯算符的表示式为,为简单起见，假设 f 不含 x、y 变量，则波动方程为,1.平面光波(Plane light wave),1）波动方程的平面光波解,为了求解波动方程，先将其改写为,令,可以证明,1）波动方程的平面光波解,因而，上面的方程变为,求解该方程，f 可表示为,对于式中的 f1(z-t)，(z-t)为常数的点都处于相同的振动状态。如图所示
3、，t0 时的波形为 I，tt1时的波形相对于波形 I 平移了 t1,。,1）波动方程的平面光波解,f1(z-t)表示的是沿 z 方向、以 速度传播的波。类似地，分析可知 f2(z+t)表示的是沿-z 方向、以速度 传播的波。,波阵面：将某一时刻振动相位相同的点连接起来，所组成的曲面叫波阵面。由于此时的波阵面是垂直于传播方向 z 的平面，所以 fl 和 f2 是平面光波。,1）波动方程的平面光波解,在一般情况下，沿任一方向 k、以速度 v 传播的平面波，如右图所示。,1）波动方程的平面光波解,2）单色平面光波,（1）单色平面光波的三角函数表示,(20)式是波动方程在平面光波情况下的一般解形式，根
4、据具体条件的不同，可以采取不同的具体函数表示。最简单、最普遍采用的是三角函数形式，即,（1）单色平面光波的三角函数表示,若只计沿+z 方向传播的平面光波，其电场表示式为,这就是平面简谐光波的三角函数表示式。式中，e 是 E 振动方向上的单位矢量。,（1）单色平面光波的三角函数表示,所谓单色，即指单频。一个单色平面光波是一个在时间上无限延续，空间上无限延伸的光波动，在时间、空间中均具有周期性。其时间周期性用周期（T）、频率（v）、圆频率（）表征，而由（21）式形式的对称性，其空间周期性可用、1/、k 表征，并分别可以称为空间周期、空间频率和空间圆频率。,（1）单色平面光波的三角函数表示,单色平面
5、光波的时间周期性与空间周期性密切相关,并由 v/相联系。,为便于运算，经常把平面简谐光波的波函数写成复数形式。,例如，可以将沿 z 方向传播的平面光波写成,采用这种形式，就可以用简单的指数运算代替比较繁杂的三角函数运算。,（2）单色平面光波的复数表示,例如，在光学应用中，经常因为要确定光强而求振幅的平方 E20，对此，只需将复数形式的场乘以它的共轭复数即可，,（2）单色平面光波的复数表示,应强调的是，任意描述真实存在的物理量的参量都应当是实数，在这里采用复数形式只是数学上运算方便的需要。,由于对（22）式取实部即为（21）式所示的函数，所以，对复数形式的量进行线性运算，只有取实部后才有物理意义
6、，才能与利用三角函数形式进行同样运算得到相同的结果。,（2）单色平面光波的复数表示,此外，由于对复数函数 exp-i(t-kz)与expi(t-kz)两种形式取实部得到相同的函数，所以对于平面简谐光波，采用，exp-i(t-kz)和expi(t-kz)两种形式完全等效。,（2）单色平面光波的复数表示,exp-i(t-kz),expi(t-kz),（2）单色平面光波的复数表示,对于平面简诣光波的复数表示式，可以将时间相位因子与空间相位因子分开来写：,式中,称为复振幅。,（2）单色平面光波的复数表示,若考虑场强的初相位，复振幅为,复振幅表示场振动的振幅和相位随空间的变化。在许多应用中，由于 exp
7、(-it)因子在空间各处都相同，所以只考察场振动的空间分布。,（2）单色平面光波的复数表示,进一步，若平面简谐光波沿着任一波矢 k 方向传播,则其三角函数形式和复数形式表示式分别为,相应的复振幅为,（2）单色平面光波的复数表示,在信息光学中，经常遇到相位共扼光波的概念。所谓相位共扼光波，是指两列同频率的光波，它们的复振幅之间是复数共轭的关系。,（2）单色平面光波的复数表示,假设有一个平面光波的波矢量 k 平行于 xOz 平面，在 z0 平面上的复振幅为,式中的 为 k 与 z 轴的夹角。,（2）单色平面光波的复数表示,则相应的相位共扼光波复振幅为,此相位共轭光波是与 波来自同一侧的平面光波，其
8、波矢量平行于 xOz 平面，与 z 轴夹角为-。,（2）单色平面光波的复数表示,此相位共轭光波是与 波来自同一侧的平面光波，其波矢量平行于 xOz 平面，与 z 轴夹角为-。,（2）单色平面光波的复数表示,如果对照（30）式，把（28）式的复数共扼写成,则这个沿-k 方向，即与 波反向传播的平面光波也是其相位共扼光波。,（2）单色平面光波的复数表示,一个各向同性的点光源，它向外发射的光波是球面光波，等相位面是以点光源为中心、随着距离的增大而逐渐扩展的同心球面。,2.球面光波(Spherical light wave),球面光波所满足的波动方程仍然是（18）式，只是由于球面光波的球对称性，其波动
9、方程仅与 r 有关，与坐标、无关，所以球面光波的振幅只随距离 r 变化。若忽略场的矢量性，采用标量场理论，可将波动方程表示为,式中，。,2.球面光波(Spherical light wave),对于球面光波，利用球坐标讨论比较方便。此时，（32）式可表示为,2.球面光波(Spherical light wave),即,因而其解为,f1(r-t)代表从原点沿 r 正方向向外发散的球面光波，f2(r+t)代表向原点传播的会聚球面光波。球面波的振幅随 r 成反比例变化。,2.球面光波(Spherical light wave),其复数形式为,最简单的简谐球面光波单色球面光波的波函数为,复振幅为,上面
10、三式中的 A1 为离开点光源单位距离处的振幅值。,2.球面光波(Spherical light wave),一个各向同性的无限长线光源，向外发射的波是柱面光波，其等相位面是以线光源为中心轴、随着距离的增大而逐渐展开的同轴圆柱面，如图所示。,3.柱面光波(Cylindrical light wave),柱面光波所满足的波动方程可以采用以 z 轴为对称轴、不含 z 的圆柱坐标系形式描述：,式中，。这个方程的解形式比较复杂，此处不详述。但可以证明，当 r 较大（远大于波长）时，其单色柱面光波的表示式为,3.柱面光波(Cylindrical light wave),复振幅为,可以看出，柱面光波的振幅与
11、 成反比。,3.柱面光波(Cylindrical light wave),由激光器产生的激光束既不是上面讨论的均匀平面光波，也不是均匀球面光波，而是一种振幅和等相位面都在变化的高斯球面光波，亦称为高斯光束。在由激光器产生的各种模式的激光中，最基本、应用最多的是基模（TEM00）高斯光束，因此，在这里仅讨论基模高斯光束。有关这种高斯光束的产生、传输特性的详情，可参阅激光原理教科书。,4.高斯光束(Gaussian beams),从求解波动方程的观点看，基模高斯光束仍是波动方程（18）式在激光器谐振腔条件下的一种特解。它是以 z 轴为柱对称的波，其表达式内包含有 z，且大体朝着 z 轴的方向传播。
12、,4.高斯光束(Gaussian beams),考虑到高斯光束的柱对称性，可以采用圆柱坐标系中的波动方程形式：,其解的一般函数形式为,可以证明，下面的表达式满足上述波动方程：,4.高斯光束(Gaussian beams),式中 E0 常数，其余符号的意义为,4.高斯光束(Gaussian beams),这里，0=(z=0)为基模高斯光束的束腰半径；f 为高斯光束的共焦参数或瑞利长度；R(z)为与传播轴线相交于 z 点的高斯光束等相位面的曲率半径；(z)是与传播轴线相交于 z 点高斯光束等相位面上的光斑半径。,4.高斯光束(Gaussian beams),(42)式的波场就是基模高斯光束的标量波
13、形式，由它可以研究：,4.高斯光束(Gaussian beams),（1）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布按照高斯函数的规律从中心（即传播轴线）向外平滑地下降，如图所示。,4.高斯光束(Gaussian beams),由中心振幅值下降到 1/e(1/点所对应的宽度，定义为光斑半径。,（1）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布,可见，光斑半径随着坐标 z 按双曲线的规律扩展，即,在 z0 处，(z)=0，达到极小值，称为束腰半径。,（1）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布,由（45）式可见，只要知道高斯光束的束腰半径0，即可确定任何 z 处的光斑半径.0 是由激光器谐振腔决定的,改变
14、激光器谐振腔的结构设计,即可改变0 值.,（1）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布,(2)基模高斯光束场的相位因子,决定了基模高斯光束的空间相移特性。,(2)基模高斯光束场的相位因子,(a)kz 描述了高斯光束的几何相移；(b)arctan(z/f)描述了高斯光束在空间行进距离 z 处、相对于几何相移的附加相移；(c)因子 kr2/(2R(z)则表示与横向坐标 r 有关的相 移，它表明高斯光束的等相位面是以只 R(z)为半 径的球面。,（2）基模高斯光束场的相位因子,R(z)随 z 的变化规律为,（2）基模高斯光束场的相位因子,可见：当 z0 时，R(z)，表明束腰所在处的等相位 面为平面
15、；当 z 时，R(z)z，表明离束腰无限远 处的等相位面亦为平面，且曲率心就在束腰处；当 zf 时，R(z)2f，达到极小值；,（2）基模高斯光束场的相位因子,当 0zf 时，R(z)2f，表明等相位面的曲率中 心在（，f）区间上；当 zf 时，zR(z)zf，表明等相位面的曲率中 心在（f，0）区间上。,基模高斯光束既非平面波，又非均匀球面波，它的发散度采用远场发散角表征。远场发散角1/e2定义为 z 时，强度为中心的 1/e2(0.135335)点所夹角的全宽度，即,显然，高斯光束的发散度由束腰半径0 决定。,（3）基模高斯光束发散角,基模高斯光束在其传播轴线附近，可以看作是一种非均匀的球面波，其等相位面是曲率中心不断变化的球面，振幅和强度在横截面内保持高斯分布。,4.高斯光束(Gaussian beams),
