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1、第一讲 函数与方程 重点：二分法,a,b,函数的零点是怎样定义的,一般地,如果函数y=f(x)在实数x处的值等于零,即 f(x)=0则x叫做这个函数的零点.,结论:零点就是方程f(x)=0的实数根.也就是函数图象与x轴交点的横坐标.,问题 1,?,练习,求下列函数的零点:f(x)=2x-4(2)f(x)=x2-4x+3(3)f(x)=x2-2x+1(4)f(x)=3x2-2x-7,解方程f(x)=0作函数图象,问题 2,?,如何求函数的零点,变号零点,1,不变号零点,问题3 观察函数图象,看两函数零点两侧的函数值有什么关系?,函数的变号零点有怎样的性质?,如果函数y=f(x)在一个区间a,b上
2、的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即f(a)f(b)o,则,定理,问题4,这个函数在这个区间上至少有一个 变号零点.,练习,1.函数y=f(x)在一个区间a,b上的图象不间断,并且f(a)f(b)0则这个函数在这个区间上()A只有一个变号零点 B至多有一个变号零点C至少有一个变号零点 D不一定有零点,2.函数y=f(x)在区间a,b上有一个变号零点x0,且f(a)0,f(b)0,f()0,则x0在哪个区间内()A.,b B.a,C.,a D.b,C,B,问题5 当确定函数在区间内存在一个变号零点后,如何求出这个零点?,通过取中点,不断把函数的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近
3、零点,进而得到函数的零点或零点的近似值,这样的方法叫做二分法.,c,d,e,例1 求函数f(x)=x3-3x2+2x-6在区间0,4内的变号零点.,解 f(0)=-60,端点(中点)坐标,中点的函数值,取区间,0,4,2,4,X1=(0+4)/2=2,X2=(2+4)/2=3,f(x1)=f(2)=-60,f(x2)=f(3)=0,由上式计算可知,x2=3就是所求函数的一个零点.,例2 求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个为正数的零点(误差不超过0.1),解 由于f(0)=-20,可以取区间1,2作为计算的初始区间.,端点(中点)坐标,中点的函数值,取区间,区间长度,1,2,1,1.5,
4、1.25,1.5,1.375,1.5,1,0.5,0.25,0.125,X1=(1+2)/2=1.5,X2=1.25,X3=1.375,X4=1.438,f(x1)=0.6250,f(x2)0,f(x3)0,由上表的计算可知,区间1.375,1.5的长度小于0.2,所以这个区间的中点x3=1.438可作为所求函数误差不超过0.1的一个正实数零点的近似值.,用二分法求函数变号零点的一般步骤:1.零点存在性定理,求出初始区间,2.进行计算,确定下一区间,3.循环进行,达到精确要求,练习,函数f(x)=-x2+8x-16在区间3,5上()(A)没有零点(B)有一个零点(C)有两个零点(D)无数个零点
5、 2.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间-2,4上的变号零点必定在()内(A)-2,1(B)2.5,4(C)1,1.75(D)1.75,2.5,B,D,3.用二分法求函数的零点,函数的零点总位于区间an,bn上,当 时函数的近似零点与真正零点的误差不超过()A.m B.m/2 C.2m D.m/4,B,4.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？,要把故障可能发生的范围缩小到50100m左右，即一两根电线杆附近，要检查多少次？,算一算：,7次,小结,二分法是求函数零点近似解的一种计算方法.用二分法求函数零点的一般步骤.二分法渗透了极限和算法的思想.,
