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1、第四讲函数的奇偶性与周期性,函数的奇偶性,注：若函数 f(x)不具有上述性质,则称 f(x)不具有奇偶性;若函数同时具有上述两条性质,则 f(x)既是奇函数,又是偶函数.,例:函数 f(x)=0(xD,D关于原点对称)是既奇又偶函数.,相同,相反,奇函数,偶函数,奇函数,（3）奇函数:f(0)=0(0 在定义域中)偶函数:f(x)=f(|x|),3、函数奇偶性的判定方法,（1）.根据定义判定:,首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称,则函数是非奇非偶函数;,若对称,再判定 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x).,（2）.利用定理,借助函数的图象判定:,（3）.性质法判定:,在公
2、共定义域内,两奇函数之积(商)为偶函数;,两偶函数之积(商)也为偶函数;,一奇一偶函数之积(商)为奇函数.,(注意取商时分母不为零!),4.一些重要类型的奇偶函数 函数f(x)axax(a0且a1)为_函数，函数f(x)axax(a0且a1)为_函数；函数f(x)loga(a0，且a1)为奇函数；f(x)loga(x)(a0，且a1)为奇函数,偶,奇,例2,思路分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式f(x)f(x)或f(x)f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的单调性。,例32010保定模拟 已知函
3、数yf(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意x1，x2R，都有f(x1x2)x1f(x2)x2f(x1)，则对函数f(x)，下列判断正确的是()A f(x)为奇函数B f(x)为偶函数C f(x)为非奇非偶函数D f(x)既是奇函数又是偶函数,B,题型二 函数奇偶性的性质及其应用,2.2010江苏卷 设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a_.,思路 利用奇偶函数的性质，得到参数a满足的方程 1 解析 本题考查函数的基本性质中的奇偶性，该知识点在高考考纲中为B级要求设g(x)exaex，xR，由题意分析g(x)应为奇函数(奇函数奇函数偶函数)，xR，g(0)0，则1a0
4、，所以a1.,D,函数的周期性,f(xT)f(x),周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有_，则称f(x)为周期函数，其中T称为f(x)的周期若T中存在一个最小的正数，则称它为f(x)的_(2)性质：f(xT)f(x)常常写作f f；f(x)的周期为T，则函数f(wx)(w0)也是周期函数，且周期为_,最小正周期,B,练3.定义在R上的函数yf(x)满足f(x)f(x)，f(1x)f(1x)，当 x1,1时，f(x)x3，则f(2 009)的值是()A1 B0 C.1 D2 解析：由已知条件f(4x)f1(3x)f(2x)f(2x)f1(1x)f(x)f(
5、x)，则函数yf(x)是周期为4的周期函数f(2009)f(2009)f(45021)f(1)1.答案：A,已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x)f(x1)1，当x0,1时，有f(x)x2，现有三个命题：f(x)是以2为周期的函数；当x1,2时，f(x)x22x；f(x)是偶函数其中正确命题的序号是_,解析：正确f(x)f(x1)1，(1)f(x1)f(x)1.(2)(2)(1)得f(x1)f(x1)0，f(x1)f(x1)，则f(x2)f(x)，f(x)是以2为周期的函数正确当x1,2时，x10,1，f(x)1f(x1)1(x1)22xx2(x0,1时，f(x)x2),错误当x1,0时，x10,1f(x)1f(x1)1(x1)2，f(x)x22x，又x0,1，f(x)(x)2x2，f(x)f(x)，f(x)不是偶函数答案：,
