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1、,第一章,二、极限的四则运算法则,三、复合函数的极限运算法则,一、函数极限的性质,第四节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数极限性质与运算法则,1.函数极限的唯一性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.局部有界性,定理1.,一、函数极限的性质,3.局部保号性,定理3.1 若,且 A 0,证:已知,即,当,时,有,当 A 0 时,取正数,则在对应的邻域,上,(0),则存在,(A 0),机动 目录 上页 下页 返回 结束,若取,则在对应的邻域,上,若,则存在,使当,时,有,推论:,分析:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 3.2 若在,的某去心邻域内,且,则,证:用反证法.,则由
2、定理3.1,的某去心邻域,使在该邻域内,与已知,所以假设不真,(同样可证,的情形),思考:若定理3.2 中的条件改为,是否必有,不能!,存在,如,假设 A 0,条件矛盾,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、极限的四则运算法则,则有,定理 4.若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论:若,且,利用保号性定理证明.,说明:定理 4 可推广到有限个函数相加、减的情形.,提示:令,定理 5.若,则有,说明:定理 5 可推广到有限个函数相乘的情形.,推论 1.,(C 为常数),推论 2.,(n 为正整数),例1.设 n 次多项式,试证,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 6.若,
3、且 B0,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,x=3 时分母为 0!,例2.设有分式函数,其中,都是,多项式,试证:,证:,说明:若,不能直接用商的运算法则.,例3.,若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般有如下结果：,为非负常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、复合函数的极限运算法则,定理7.设,且 x 满足,时,又,则有,证:,当,时,有,当,时,有,对上述,取,则当,时,故,因此式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理7.设,且 x 满足,时,又,则有,说明:若定
4、理中,则类似可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.求,解:令,已知,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.求,解:方法 1,则,令,原式,方法 2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.极限运算法则,(1)极限四则运算法则,(2)复合函数极限运算法则,注意使用条件,2.求函数极限的方法,(1)分式函数极限求法,时,用代入法,(分母不为 0),时,对,型,约去公因子,时,分子分母同除最高次幂,(2)复合函数极限求法,设中间变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考及练习,1.,是否存在?为什么?,答:不存在.,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在,与已知条件,矛盾.,问,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.求,解法 1,原式=,解法 2,令,则,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.试确定常数 a 使,解:,令,则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此,备用题 设,解:,利用前一极限式可令,再利用后一极限式,得,可见,是多项式,且,求,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
