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1、3.2 函数模型及其应用,3.2.1 几种不同增长的函数模型,学习目标:,1、利用函数图象及数据表格，比较指数函数，对数函数及幂函数的增长差异;2、结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义;3、体会数学在实际问题中的应用价值。,1859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了。兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌，数量不断翻番。1950年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加到了五亿只，这个国家绝大部分地区的庄稼或草地都遭到了极大损失。绝望之中，人们从巴西引入了多发黏液瘤病，以对付迅速繁殖的兔子。整个20世纪中期，澳大
2、利亚的灭兔行动从未停止过。,“指数爆炸”模型,例1:假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：,方案一：每天回报40元；,方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天 多回报10元；,方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比 前一天翻一番。,请问，你会选择哪种投资方案呢？,?,投资方案选择原则：,(1)比较三种方案每天回报量；(2)比较三种方案一段时间内的累计回报量.,投入资金相同，回报量多者为优,分析,我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。,解：设第x天所得回报为y元，则 方案一：每天回报40元；y=4
3、0(xN*),方案二：第一天回报10元，以后每天比前一 天多回报10元；y=10 x(xN*),方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报 比前一天翻一番。y=0.42x-1(xN*),000000,0000,1010101010,10101010,0.40.81.63.26.4,12.825.651.2107374182.4,我们来计算三种方案所得回报的增长情况：,下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：,y,x,o,y=40,y=10 x,累计回报表,结论：,投资16天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或二；投资810，应选择方案二。投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.,例
4、2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？,(1)、由函数图象可以看出，它在区间10,1000上递增，而且当x=1000时，y=log71000+14.555,所以它符合奖金不超过5万元的要求。,模型y=log7x+1,令f(x)=log7x+1-0.25x，x 10,1000.利用计算机作出函数f
5、(x)的图象，由图象可知它是递减的，因此,f(x)f(10)-0.31670,即 log7x+10.25x,所以，当x 10,1000，,？,探究：,讨论一下函数：在区间上的增长情况吗？,1、由表格数据观察三者的增长速度。,2、由图象观察三者的增长速度。,从图可以看出：虽然它们都是增函数，但是它们的增长速度是不同的。,以三个函数为例探究三类函数的增长差异：,函数y=2x,y=2x,y=x2,y=log2x的函数值表:,函数y=2x,y=2x,y=x2,y=log2x的图象:,综上所述：,(1)、在区间(0,+)上，y=ax(a1)，y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数。,(2)、
6、随着x的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越快，会远远大于y=xn(n0)的增长速度。,(3)、随着x的增大，y=logax(a1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn(n0)的增长速度。,总存在一个x0，当xx0时，就有:logaxkxxnax,课堂小结,几种常见函数的增长情况：,没有增长,直线上升,指数爆炸,“慢速”增长,解决实际问题的步骤：,实际问题,读懂问题,抽象概括,数学问题,数学问题的解,还原说明,实际问题的解,演算,推理,3.2 函数模型及其应用,3.2.2 函数模型的应用实例,复习引入,问题,1.我们所学过的函数有哪些?一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数共5种
7、函数.2.你能分别说出有关这些函数的解析式、函数图像以及性质吗？3.你能分别说说这些函数在实际生活中的应用吗？,例3：一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间 关系如图所示,（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm，与时间t h的函数解析式，并作出相应图象。,从图上很明显看出汽车在每一小时都有固定速度，而进入下一小时后速度则变为另一个固定值，这是很明显的分段函数特征。,解：（1）阴影面积为：501+801+901+75 1+65 1=360,表示汽车5小时内行驶的路程为36
8、0km。,（2）据图有：,50t+2004,0t1,80(t-1)+2054,1t2,90(t-2)+2134,2t3,75(t-3)+2224,3t4,65(t-4)+2299,4t5,（2）假设这辆汽车的里程表在 汽车行驶这段路程前的读2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km，与时间t h的函数解析式，并作出相应图象。,函数图象如图所示：,例4 人口问题是当今世界普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出自然状态下的人口增长模型：,y=y0ert,其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表
9、示人口的年平均增长率。下表是19501959我国的人口数据资料：,（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；,（2）如果按表中增长趋势，大约哪一年我国的人口达到13亿？,根据我国实际情况确定表达式的参数，得到符合我国实际情况的函数表达式，再作图分析增长情况。,解：（1）设19511959年的人口增长率分别为r1，r2，r9 由表中数据可得,r10.020,r20.0210,r30.0229,r40.0250,r50.0197,r60.0223,r70.0
10、276,r80.0222,r90.0184,故平均增长率,令y0=55196，则我国在19501959年期间的人口增长模型为,y=55196e0.0221t(tN),根据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55196e0.0221t(tN)的图象，如图,如图可知，所得模型与实际情况基本吻合。,（2）将y=130000代入y=55196e0.0221t由计数器可得t38.76,所以，如果按表中增长趋势，大约在1950年后的第39年，我国人口会达到13亿,例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示,请根据以上数据作出分析，这
11、个经营部这样定价才能获得更大利润？,分析:单价与销售之间的关系题目是通过表格的形式给出的，要求利润必须首先找到单价与销售量的关系，列出函数关系式，再求函数最大值。,二次函数,例6 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：,（1）根据上表提供的数据，能否建立函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常？,解:（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，根据点的分布特征，可以考
12、虑以y=abx作为刻画这个地区未成年男性体重与身高关系的函数模型,不妨取两组数据（70，7.9），（160，47.25）,代入y=abx,可得a2，b1.02y=21.02x,将其他数据代入检验，可以发现，这个函数与已知数据拟合程度较好，说明函数能较好的反映实际问题。,例6 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：,将x=175带入y=21.02x，得y63.98由于7863.981.221.2所以，这个男生偏胖.,函数应用的基本过程,1、收集数据,2、作出散点图,3、通过观察图象选择函数模型,4、求函数模型,即求函数解析式,6、如果符合,那么用得到的函数模型解决相应的问题,5、检验是否符合实际,
